matlab信号移位_matlab 移位

1. 数字信号基础知识与matlab实现
　　文章整理了数字信号处理的三个基础且常用的知识点及其matlab实现，包括信号的频移实现、信号时域取实部对频谱的影响、信号的时域上采样及其对频谱的影响。都尝试进行了公式的推导以及matlab仿真实现与验证。

　　1. 基础知识与准备工作

　　1. 欧拉公式

　　欧拉公式为： $e^{jwt}=cos wt+jsin wt$ ，推导得：

　　 $cos wt=\frac{e^{jwt}+e^{-jwt}}{2}$ ； $sin wt=\frac{e^{jwt}-e^{-jwt}}{2j}$

　　2. DFT与IDFT公式

　　DFT： $X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}{x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}nk}} (k=0,1,...,N-1)$

　　IDFT： $x(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{X(k)e^{j\frac{2\pi}{N}nk}} (n=0,1,...,N-1)$

　　3. matlab仿真原始信号生成

　　在下面的章节中仿真数字信号的频移、时域取实部以及时域上采样时，均用到了同一个生成的原始信号，因为生成信号的过程有些长，为防止后续占用过多篇幅，所以在本节中，先附上生成原始信号的代码，得到原始信号频谱Pream_frq，与相应的信号时域Pream_time。原始信号使用1024点fft，采样率为25MHz。

　　生成的原始信号频谱Pream_frq为：原始信号频谱

　　2. 数字信号的频移

　　1. 公式推导

　　本节提供了使用Matlab在频域进行移频和在时域进行移频的两种方法，所以先进行了时域移频的公式推导，假设需要在频域向右移个点，则：

　　 $X(k-l)=\sum_{n=0}^{N-1}{x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}n(k-l)}} = \sum_{n=0}^{N-1}{[x(n)e^{j\frac{2\pi}{N}nl}]e^{-j\frac{2\pi}{N}nk}}$

　　即

　　 $X(k-l)=DFT[x(n)e^{j\frac{2\pi}{N}nl}]$

　　2. matlab仿真

　　下面的代码分别从频域和时域实现了对原始信号Pream_frq向右频移128点的功能（若想向左平移可设l为负数）：

　　下面画出代码运行生成的原始信号频谱和分别在频域和时域进行频移后的频谱（为方便观察频移的点数，横坐标改为频点值，而不是频率值），根据图中的标注可以看到第80点移位到了第208点，且在频域和时域实现频移后结果完全一致。原始信号频谱在频域实现频移后的信号频谱在时域实现频移后的信号频谱

　　3. 数字信号在时域取实部对频谱的影响

　　1. 公式推导

　　首先， $real\{x(n)\}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{real\{X(k)e^{j\frac{2\pi}{N}nk}\}}$ ，为方便起见，我们把 $real\{X(k)e^{j\frac{2\pi}{N}nk}\}$ 提出来，只变换这一部分：

　　 $real\{X(k)e^{j\frac{2\pi}{N}nk}\}$

　　 $=real\{[X_{R}(k)+jX_{I}(k)][cos({\frac{2\pi}{N}nk})+jsin({\frac{2\pi}{N}nk})]\}$

　　 $=X_{R}(k)cos({\frac{2\pi}{N}nk})-X_{I}(k)sin({\frac{2\pi}{N}nk})$

　　 $=X_{R}(k)\frac{e^{j\frac{2\pi}{N}nk}+e^{-j\frac{2\pi}{N}nk}}{2}+X_{I}(k)\frac{e^{j\frac{2\pi}{N}nk}-e^{-j\frac{2\pi}{N}nk}}{2j}$

　　 $=\frac{1}{2}[X_{R}(k)+jX_{I}(k)]e^{j\frac{2\pi}{N}nk}+\frac{1}{2}[X_{R}(k)-jX_{I}(k)]e^{-j\frac{2\pi}{N}nk}$

　　即

　　 $real\{x(n)\}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{\frac{1}{2}X(k)e^{j\frac{2\pi}{N}nk}}+\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{\frac{1}{2}\bar{X}(k)e^{-j\frac{2\pi}{N}nk}}$

　　原本的IDFT公式 $x(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{X(k)e^{j\frac{2\pi}{N}nk}} (n=0,1,...,N-1)$ 表示，x(n)在频点k上的频谱值为X(k)，x(n)表示为频域上一系列频点频谱值的加权和。

　　类比得到 $real\{x(n)\}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{\frac{1}{2}X(k)e^{j\frac{2\pi}{N}nk}}+\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{\frac{1}{2}\bar{X}(k)e^{-j\frac{2\pi}{N}nk}}$ 的含义为， $real\{x(n)\}$ 在频点k上的频谱值为 $\frac{1}{2}X(k)$ ，在频点-k上的频谱值为 $\frac{1}{2}\bar{X}(k)$ , $real\{x(n)\}$ 表示为频域上一系列频点频谱值的加权和。

　　即， $real\{x(n)\}$ 的频谱是以中心频率为中点共轭对称的，且每个频点上的频谱幅值是原频谱幅值的1/2。

　　2. matlab仿真

　　代码如下：

　　代码运行生成的结果图如下，可以观察到由公式推导得到的结论，取实部后，在与1.95MHz关于12.5MHz对称的位置23.05MHz处出现较高的频谱值。且频谱幅值从单边的1，变为双边的0.5左右，观察频谱相位可以发现，两边的相位是奇对称的，即双边的频谱值是共轭对称的。原始信号频谱原始信号取实部后频谱

　　4. 数字信号的时域上采样实现，及其对频谱的影响

　　1. 公式推导

　　本节首先公式推导了把N点x(n)二倍上采样至2N点 $x_{\uparrow2}(n)$ 后，x(n)的频谱X(k)与 $x_{\uparrow2}(n)$ 的频谱 $X_{\uparrow2}(k)$ 的关系。

　　首先，

　　 $x_{\uparrow2}(n)=\left\{ \begin{array}{rcl} x(\frac{n}{2})& & {n为偶数}\\ 0& & {n为奇数} \end{array} \right.$ 其中 $n\in[0,2N-1]$

　　则，

　　（tip：因为X(k)中k的范围是[0,N-1]， $X_{\uparrow2}(k)$ 中k的范围是[0,2N-1]，所以需要分段求解 $X_{\uparrow2}(k)$ ）

　　① 求[0,N-1]段，

　　 $X_{\uparrow2}(k)=\sum_{n=0}^{2N-1}{x_{\uparrow2}(n)e^{-j\frac{2\pi}{2N}nk}} =\sum_{n=0且n为偶}^{2N-1}{x(\frac{n}{2})e^{-j\frac{2\pi}{2N}nk}}$

　　令上式中 $\frac{n}{2}=m$ （因为n：0,2,4,…,2N-2，所以m：0,1,2,…,N-1）

　　则 $上式=\sum_{m=0}^{N-1}{x(m)e^{-j\frac{2\pi}{2N}2mk}} =X(k)$

　　② 求[N,2N-1]段，

　　 $X_{\uparrow2}(k+N)=\sum_{n=0}^{2N-1}{x_{\uparrow2}(n)e^{-j\frac{2\pi}{2N}n(k+N)}} =\sum_{n=0且n为偶}^{2N-1}{x(\frac{n}{2})e^{-j\frac{2\pi}{2N}n(k+N)}}$