概率里d(x)是什么_概率里dx是什么意思

什么是随机积分？（简版）
　　随机计算（stochastic calculus）是应用于随机过程（stochastic process）的运算，它对随机过程关于随机过程的积分作出定义，由日本数学家伊藤（Ito）创立。在本文中，我们将要对用布朗运动（Brownian motion）定义的随机积分进行一个简单的介绍，所用到的方式没有很强的技术性和理论性，目的是为了让尽可能多的人理解随机积分的概念。

　　1 布朗运动

　　布朗运动是指粒子在介质中的随机运动，它由植物学家布朗首次发现。这种运动模式通常包括粒子在流体（fluid）子域（sub-domain）内位置的随机波动，然后重新定位到另一子域。每次重新定位之后，新的子域中会出现更多波动。该模式描述了由给定的温度定义的处于热平衡（thermal equilibrium）的流体。在这种流体中，不存在优先流动方向。更具体地说，流体的整体线性动量（linear momentum）和角动量（angular momentum）随时间保持为零。一个粒子布朗运动的轨迹

　　在数学中，布朗运动又叫维纳过程（Wiener process），它是一个连续时间（continuous-time）随机过程。布朗运动有很多种构造方式，在本文中，我们用随机行走（random walk）的极限来引入布朗运动。

　　定义 1.1 令 为一个概率空间（probability space）. 对于一个离散时间（discrete-time）随机过程 ，若 ，且 ，这里 是i.i.d的， ，且 ，则 叫作随机行走.

　　令 。很容易看出来， 是i.i.d的，期望为 ，且方差为 。将时间区间 分为长度相等均为 的子区间。为了简化，我们假设 整除 ，故一共有 个子区间。自然地定义 ，其中 是i.i.d的，且期望为 。由于 ，我们有 。

　　令 ，在时间 之间会有越来越多的 。根据中心极限定理（central limit theorem），我们有 。这样，我们就可以将布朗运动定义为“连续的”随机行走。换句话说，将随机行走视为定义在小时间区间上的期望为 且方差取决于区间长度的i.i.d随机变量之和，并令区间长度趋近于 ，我们会得到有正态（normal）无限小增量累计而成的连续随机过程，即布朗运动。随机行走和布朗运动

　　定义 1.2 若一个连续时间随机过程 满足 样本路径（sample path） 几乎必然（almost surely）是连续的从 到 的增量 独立（independent）于路径 ，且

　　则 叫作布朗运动. 通常情况下， ，这时 叫作标准布朗运动（standard Brownian motion）. 如果 满足 样本路径（sample path） 几乎必然（almost surely）是连续的从 到 的增量 独立（independent）于路径 ，且 ，其中 是一个半正定的（positive semidefinite）瞬时协方差矩阵（instantaneous covariance matrix）

　　则 叫作 -维布朗运动.

　　布朗运动有很多很好的性质。它不仅是马尔可夫过程（Markov process），还是鞅（martingale）。此外，布朗运动还有处处连续（everywhere continuous）处处不可导（nowhere differentiable）的性质。

　　2 随机积分

　　我们想要对用布朗运动来定义的函数进行积分和微分，故引入随机积分的概念。令 为一个滤波（filtration），即一个 -代数（ -algebra）的升序列（ ）。 假设 和 适应于（adapted to） ，即 和 是 -可测的（ -measurable）。若 关于时间不变，那么可以很自然地定义 。若 是一个关于时间的阶跃函数（step function），即存在 ，使得 在区间 上不变。叠加每个子区间上的积分，我们自然地定义 。

　　如果 是cadlag，即在右侧连续（ ），在左侧有极限（ 存在），又可以自然地定义 ，这里是对于越来越精细的对 的划分 取极限。如果我们采用类似于定义黎曼积分（Riemann integral）的论述，我们可以证明，对于任意平方可积的（square integrable）的函数，伊藤积分

　　都是一个成立的定义。

　　这就是对随机积分或伊藤积分的定义的简单介绍。注意伊藤积分的定义和黎曼－斯蒂尔杰斯积分（Riemann-Stieltjes integral）的定义

　　十分类似，这里 ，且 是区间 上。这里我们看到了黎曼－斯蒂尔杰斯积分和伊藤积分的区别：在伊藤积分中， 取值于区间的左端点 ，而在黎曼－斯蒂尔杰斯积分中 取值于区间的任意一点。黎曼－斯蒂尔杰斯积分的值和被积项（integrand）在区间中的取值点无关，而伊藤积分的值和被积项在区间中的取值点有关。事实上，在另一种随机积分的定义中，被积项的取值点是区间的中点，这样定义的随机积分叫作斯特拉托诺维奇积分（Stratonovich integral）。

　　在随机积分中，我们通常使用像 和 这样的微分（differential）而非积分。这些微分满足一些法则：

　　首先，由于我们将 平均分为 份， ，即 。那么 ，即 。接着，根据布朗运动的定义， 是期望为 且方差为 的独立随机变量。根据大数定律（law of large numbers）， ，即 。然后，由于 ，且 。

　　我们还可以用其他随机过程，如扩散过程（diffusion process），定义随机积分。

　　定义 2.1 如果随机过程 满足 ，其中 是适应过程（adapted process），那么 叫作扩散过程，其中 叫作漂移项（drift term）， 叫作扩散项（diffusion term）. 扩散过程的微分形式是 .

　　显然，对于扩散运动的微分形式，我们仍有 ，另外 。由扩散运动定义的随机积分可被定义为 。

　　3 伊藤引理

　　在微积分（calculus）中，如果我们想要计算定积分（definite integral），我们不是用黎曼积分的定义，而是用微积分基本定理（fundamental theorem of calculus） ，这对所有绝对连续（absolutely continuous）函数都成立。我们可以将此结论写为微分形式 。如果 还是关于 的函数， 在 处的泰勒级数（Taylor series）是

　　若将此展开式写为微分形式，由于 ，我们有 。伊藤引理（Ito's lemma）就是随机版的泰勒展开式（Taylor expansion）。

　　令 为一个有连续路径的随机过程，并令 为一个 函数。令 ，并令 。根据泰勒定理（Taylor's theorem），

　　这里 ， 。

　　令 为布朗运动，并令 ，第一项收敛于 ，第二项收敛于 ，第三项收敛于 ，第四项和第五项收敛于 ，因为 。这样，我们就得到了伊藤引理

　　若采用微分形式，可表达为

　　如果 是一个满足 的扩散过程，那么伊藤引理告诉我们

　　所以，如果 是一个扩散过程，且 是一个 函数， 也是一个扩散过程。类似地，在多维情况下，若 ，其中 的维度是 ， 的维度是 ，瞬时协方差矩阵是 ，那么我们可以得到多维情况下的伊藤引理

　　4 随机优化

　　微积分可以被应用于优化问题，而类似地，随机计算也可以被应用于随机优化（stochastic optimization）。随机优化中的变量是随机变量，而如果这个随机变量是由布朗运动定义的扩散运动，我们之前引入的随机积分概念就要发挥作用了。考虑如下问题

　　其中 连续，关于 是 ，关于 是 ， 是状态变量（state variable）， 是控制变量（control variable）， 是瞬时协方差矩阵为 的多维布朗运动。

　　我们可以通过推导贝尔曼方程（Bellman equation）来解决此类动态规划（dynamic programming）问题。令

　　为 时的价值函数（value function），也就是说，这是在状态 的情况下后续变化的最大期望。如果 很小，根据离散时间的贝尔曼方程，我们有 ，这里 。两边同时除以 ，并令 ，我们有 。

　　根据伊藤引理， ，而由于 ，我们有 。这样，我们就得到了我们想要的贝尔曼方程

　　此贝尔曼方程又叫HJB方程。HJB方程可以帮助我们解决随机优化问题。如果 满足约束（constraint），那么它叫作可行的（feasible）。下面这个定理告诉我们随机优化问题的解法。

　　定理 4.1 令 关于 是 ，关于 是 ，令 为可行的，并令 . 如果 满足HJB方程，且 ，那么

　　当 是 时的HJB方程的解时，等号成立.

　　证明根据HJB方程， . 从 到 积分，我们得到 . 由于 ，取条件期望（conditional expectation）后，有 . 这里我们用到了 . 令 ，并使用条件 ，我们得到 .

　　参考文献

　　[1] Steven E. Shreve. Stochastic Calculus for Finance II-Continuous-Time Models. Springer Finance. Springer, New York, 2004.

　　[2] Fwu-Ranq Chang. Stochastic Optimization in Continuous Time. Cambridge University Press, 2004.