一阶低通滤波器和二阶低通滤波器区别_一阶滤波器和二阶滤波器的区别

彻底理解一阶低通数字滤波器原理、设计及工程实践　　在电机控制中，有许多的物理量都要经过AD转换为数字量，才能在控制算法中使用，如母线电压、采样电阻电流、功率模块温度等。使用这些数字量时，既要做到有效地把物理量的真实值还原出来，还需要能够剔除一些可能引入的高频干扰，这在软件中就涉及到一个很普遍的方法：使用一阶低通数字滤波器。通常，在软件中会使用离散化且不断迭代的方法来实现这个过程，基本公式是：　　
　　这个公式里，X为输入，Y为滤波后得到的输出值；本次的输出结果主要取决于上次的滤波输出值，其中a是和滤波效果有关的一个参数，称为滤波系数；它决定新采样值在本次滤波结果中所占的权重；滤波系数a越小，滤波结果越平稳，但是灵敏度低；滤波系数a越大，滤波结果越不稳定，但是灵敏度高；　　那么这个公式为什么能启到滤波的作用呢？　　这个公式是又是怎么来的呢？　　滤波系数a又应该怎么设计呢？　　直击灵魂三连问啊，听我慢慢道来。　　从一个入门的RC滤波电路说起：

RC滤波电路　　在这个电路中输入是Ui, 输出是Uo, 我们都知道这个RC电路是可以实现将高频杂波滤除掉的功能，Ui输入信号上有高频杂波时，电容两端U0输出可以只含有低频信号。　　以电容电压作为输出，令U1 =Ui， U2 = U0，电路的网络函数是：　　
$H(jw) =\frac{U_{2}}{U_{1}} =\frac{\frac{1}{jwC}}{R+\frac{1}{jwC}} =\frac{1}{1+jwRC} = \frac{1}{1+jw\tau} -----（1）$ 　　其中令
$\tau = RC$ ，也是通常说的时间常数，它是表征电路滤波效果的一个常量。　　令
$\omega_{c} = \frac{1}{RC} =\frac{1}{\tau}$ ,并将
$\omega_{c}$ 代入公式（1），可以得到公式（2）：　　
$H(jw) = \frac{1}{1+j\frac{\omega}{\omega_{c}}} -----（2）$ 　　这里的
$\omega_{c}$ 就是通常所说的截止频率，可以求出公式（2）的幅值和相角函数：　　
$\left| H(jw) \right| =\frac{1}{\sqrt{1+ (\frac{\omega}{\omega_{c}})^{2}}}$ 　　
$\theta(\omega) = arctan(\frac{\omega}{\omega_{c}})$ 　　从幅值函数中可以看出：当输入信号的频率小于截止频率时，幅值基本等于1，也就是输入信号能基本还原出有用信号的状态；当输入信号的频率大于截止频率时，幅值就迅速小于1了，也就达到了衰减高频干扰信号的目的；　　从相角函数中可以看出：随着输入信号的频率的不断增大，输入信号的相位不断滞后，当输入信号的频率等于截止频率时，相位滞后45度，当输入信号的频率远大于截止频率时，相位滞后90度。　　除了公式上的分析外，还可以绘制出它的对数幅频特性曲线，从曲线上就可以一目了然的看清楚它对高频信号的滤波作用了。

对数幅频特性曲线　　在《自动控制原理》的教材中，这个RC电路的环节就被称为一阶惯性环节，它的传递函数公式如下，在形式上它和RC电路网络是一模一样的，通过这个一阶惯性环节就可以从输入量X到输出量Y的滤波效果。　　
$H(s) = \frac{Y}{X}=\frac{1}{1+s\tau}$ 　　实际在单片机使用这个一阶惯性环节时，还需要使用Z变换对其离散化：

Z变换过程　　这里的
$T_{c}$ 是采样周期，再进一步转化得到：　　
$Y_{n} =\frac{T_{c}}{\tau} X_{n-1} + (1-\frac{T_{c}}{\tau}) Y_{n-1}$ 　　有没有发现和文章中一开始的的提到的基本公式完全对应起来了，这里再重新写一遍基本公式：　　
　　其中滤波系数
$a =\frac{T_{}}{\tau} = T * \omega_{c}$ (这里用
来表示采样周期
$T_{c}$ ，以便和截止频率
$\omega_{c}$ 相区别) 　　到目前为止，前两问已经解答了，然后看一下第三问，怎么通过滤波系数a的计算来设计一阶低通数字滤波器。　　一阶低通数字滤波器的设计要点有三点：带宽（截止频率
$\omega_{c}$ ）设计相移设计采样周期T的选取　　先说第1点：　　截止频率
$\omega_{c}$ 的选取往往需要根据信号本身幅值的频率分布来确定，如电流、反电动势等的最大基波频率是
$\omega_{rate}$ ,那么为了把包含基波频率及以下的有效信息提取出来，并滤除高频分量，则可以取截止频率
$\omega_{c}$ 稍大于基波频率
$\omega_{rate}$ ；而温度这种信号变化一般较为缓慢，大部分是直流分量，则可以取截止频率
$\omega_{c} = 2* \pi*10$ ，即10Hz 　　接着说第2点：　　经过一阶数字滤波后，角度会发生滞后，对某些相位要求高的信号，比如反电动势，要及时进行补偿。电机控制中一般通过反电动势来计算转子角度信息，此时经过滤波的反电动势已经发生相位滞后，如果不补偿，相位就错误了。　　补偿方法可以下式来进行计算：　　
$\theta(\omega) = arctan(\frac{\omega}{\omega_{c}})$ 　　
$\theta_{real} = \theta_{caculate} + \theta(\omega)$ 　　最后说第3点: 　　采样周期T的选取是指离散化计算的最小时间单位，这往往是由物理量的采样周期来决定的，比如需要对采集到的相电流进行滤波时，而相电流一般是在PWM周期内部执行的，那么此时
$T =\frac{1}{f_{pwm}}$ 　　第三问也解答完了，还是有点糊涂？　　那是因为缺少实践，咱们就来一波实战。作者以Microchip AN1078笔记中对电机反电动势两次低通数字滤波的方法进行说明，笔记中的原文是这样的：

反电动势估算模型—来源AN1078

反电动势滤波—来源AN1078 　　其中截止频率设置为和电频率
$\omega_{e}$ =
$2\pi f_{e}$ 相等，那么无论电机运行于什么电频率，相位就固定滞后45度，两次滤波后，就固定滞后90度，幅值上变成原有数据的
$1/\sqrt{2}$ 即0.707倍。　　使用这种变截止频率的好处就在于，不用在不同转速下补偿不同的角度值，直接补偿一个固定角度，方便计算。　　由此得到以下计算公式：

　　接着对
$K_{slf}$ 进行归一化和Q15化就可以了，原文中的代码是如下，两者是怎么等价的呢？

　　请看公式推导：

　　其中令
$f_{pwm}/(2 F _{base})$ 这一固定系数为IRP_PERCALC，则可以把上式写成如下，并进行Q15化：

　　接着不就全部对应上了，其中OMEGA0可以理解为当前电频率
$f_{e}$ 的Q15值。

　　看一下实际滤波的效果：

　　Zalpha是原始数据， Ealpha是经过第一次低通滤波的波形， EalphaFinal是经过第二次低通滤波的波形，从波形中都可以很清楚的看出，相移滞后45度，幅值是比原来小，大约在0.707倍左右。　　再好的讲解，都需要积极去实践才能让功夫上身，使它成为我们自己掌握的又一项武器。只有经过实践后的武器，才是真正自己掌握的，是谁也抢不走的。让我们操练起来吧，留个小实践课题：“在你的软件中，对电机UVW端电压信息进行数字低通滤波，滤波器带宽设为100Hz，数字滤波器执行周期为PWM中断周期，并进行离散化处理。　　至此，一阶数字滤波器的原理、设计及工程实践就全部讲完了，你的灵魂被击中了吗？　　全文用心完成，欢迎点赞和评论，谢谢。

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