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ds是什么意思啊高数_数学分析最好的教材

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ds是什么意思啊高数_数学分析最好的教材为什么曲面积分里面的ds = (1 + zx² + zy²) ½dxdy呢？(这里的乘是叉积)勾股定理三维版。.微分形式：.化简即得.我相信答主既然这么问，很可能是高数的初学者，希望能用更简单的思路去理解这个问题。所以我上面给出一个简单直观的解答，不够严谨，

为什么曲面积分里面的ds = (1 + zx² + zy²) ½dxdy呢？ 　　
ds是什么意思啊高数_数学分析最好的教材 　　
\int\int_{S} f(x,y,z) dS= \int\int_{x,y} f(x,y,z(x,y))|\frac{\partial f}{\partial x} \times \frac{\partial f}{\partial y}|dxdy(这里的乘是叉积) 　　
|\frac{\partial f}{\partial x} \times \frac{\partial f}{\partial y}| = ||(1,0,\frac{\partial z}{\partial x}) \times (0,1,\frac{\partial z}{\partial y})|| 　　
=||(-\frac{\partial z}{\partial x},-\frac{\partial z}{\partial y},1)|| = \sqrt{(\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2 +1} 　　
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ds是什么意思啊高数_数学分析最好的教材 　　勾股定理三维版。
S_4^2=S_1^2+S_2^2+S_3^2. 　　微分形式：
ds^2=(dydz)^2+(dz dx)^2+(dxdy)^2. 　　化简即得
ds=\sqrt{z_x^2+z_y^2+1} dxdy.
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ds是什么意思啊高数_数学分析最好的教材 　　我相信答主既然这么问，很可能是高数的初学者，希望能用更简单的思路去理解这个问题。所以我上面给出一个简单直观的解答，不够严谨，但是只需中学几何知识背景即可理解，对初学者确实有帮助（反正我大一时是这么理解的）。以下稍作展开。 　　一般情况下，任意曲面都可以用一系列三角面逼近，直到微情况下，高阶小量可扬弃。从最简单的情况出发，如上图所示（自己画的，渣配色，请谅解）。坐标轴与一平面相截，得到三个直角三角形和一个普通三角形，面积分别为
S_1、
S_2、
S_3和
S_4，由三维空间勾股定理有： 　　
S_4^2=S_1^2+S_2^2+S_3^2. 　　如果以上一切都是微，则有： 　　
ds^2=(dydz)^2+(dz dx)^2+(dxdy)^2 　　提出因子
(dxdy)^2，有： 　　
ds^2=(dxdy)^2((\frac{dydz}{dxdy})^2 +(\frac{dzdx}{dxdy})^2 +1) 　　
=(dxdy)^2(z_x^2+z_y^2+1) 　　从而
ds=\sqrt{z_x^2+z_y^2+1} dxdy. 　　(答主注：分子分母消去那一步不严谨，源于
\Delta 、
d、
\partial 的细致区别。另外
dxdy等其实应为
dx\wedge dy，毕竟有方向性。这里忽略严谨，是为了方便理解。) 　　=========================== 　　那么三维空间勾股定理怎么回事呢？ 　　如图，对各个直角三角形，有： 　　
d = \sqrt{a^2 + b^2}, e = \sqrt{b^2 + c^2} , f = \sqrt{c^2 + a^2} ; 　　
S_1=bc/2,S_2=ca/2,S_3=ab/2. 　　对普通三角形ABC，由海伦公式（Heron，或称海伦－秦九韶公式）： 　　
S_4=\sqrt{p(p - d)(p - e)(p - f)} 　　其中
p=(d+e+f)/2 　　以上各式，联立可得： 　　
S_4^2=S_1^2+S_2^2+S_3^2 　　(实际上，勾股定理还可以推广到更高维度) 　　=========================== 　　至于海伦公式，初中时是从配方法推得，高中时是从余弦定理推得。这里就不作详解了。 　　=========================== 　　第一次在知乎上打公式，手指好累……纯吐槽……这个问题也是我当初学习时遇到和思考过的，深有感触。希望这个解答对读者有所帮助，加油！ 　　不同于《高等数学》书中的方法，本文通过线性变换的思想来推导一下曲面积分公式。 　　先明确下问题。 　　1 曲面面积公式 　　对于一个三维的光滑曲面
S，有： 　　
\displaystyle\mathop{\iint}_{S}dS=\mathop{\iint}_{D_{xy}} \sqrt{1+(\frac{\partial f}{\partial x})^2 +(\frac{\partial f}{\partial y})^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y 　　其中
D_{xy} 是
S在
xy平面的投影。 　　我们来看一下这个公式是怎么推出来的。 　　2 基本思想 　　比如
S是这么一个三维光滑曲面：
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ds是什么意思啊高数_数学分析最好的教材 　　将曲面无限细分为
n份，每一份的面积我们姑且认为就是
dS （严格来说，在积分里
dS 是没有什么几何意义的，不过出于直观理解为面积是可以的）：
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ds是什么意思啊高数_数学分析最好的教材 　　所以
\displaystyle\mathop{\iint}_{S}dS 的意思是把所有的
dS累加起来，就得到了
S 的面积。 　　微积分的思想就是“以直代曲”，比如说在一的时候：
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ds是什么意思啊高数_数学分析最好的教材 　　从一开始推广到多这个思想依然成立。从这个思想出发，我们要找到
dS的直。 　　我在某个切分出来的小块，比如叫做
S_i 吧，在其中随便找一个
A 点，做此点的切平面：
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ds是什么意思啊高数_数学分析最好的教材 　　此块切平面的面积我们记作
dA ：
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ds是什么意思啊高数_数学分析最好的教材 　　切平面
dA 实际上是
dS 的微分（这一点可以参看我的答案 如何理解全微分 ），根据微分的定义有：
dA\approx dS ，并且有： 　　
\displaystyle\mathop{\iint}_{S}dS=\mathop{\iint}_{S}dA 　　这就是“以直代曲”，在积分中，可以直接用切平面来代替原曲面。 　　下面我们来看下
dA 怎么计算。 　　3 通过线性变换来计算
dA 　　下面我的解释为了直观牺牲了严格性。 　　关于线性变换可以参考下我另外一个答案： 行列式的本质是什么？ 　　简单来说呢，线性变换可以把一根直线变成另外一根直线：
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dA 在
xy 平面上的投影为
dD_{xy} ：
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dD_{xy} 通过线性变换可以得到
dA，而这个线性变换就是导数，关于这点可以参看我的回答 如何理解导数的概念 。 　　这里需要补充说明的一点是，
dD_{xy} 实际是通过仿射变换可以得到
dA 的，不过这点并不妨碍我后面的说明。关于仿射变换可以参看我的回答： 如何理解仿射变换？ 　　那么如果能知道
dD_{xy} 的面积，再进行线性变换就能得到
dA 的面积了（这里把
dA即当作面积，也当作了小方块的代称，请根据上下文理解）。 　　4 具体做法 　　
dD_{xy} 的面积计算：
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dA的面积：
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T 实际上就是导数，也就是雅可比矩阵，因此我们可以完成下面的推导：
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ds是什么意思啊高数_数学分析最好的教材 　　我们可以得到： 　　
dA=|\overrightarrow{du}\times\overrightarrow{dv}|= ||(-\frac{\partial f}{\partial x}dxdy,-\frac{\partial f}{\partial y}dxdy,dxdy)||= \sqrt{1+(\frac{\partial f}{\partial x})^2+(\frac{\partial f}{\partial y})^2}dxdy 　　从而得到我们的曲面面积公式： 　　
\displaystyle\mathop{\iint}_{S}dS=\mathop{\iint}_{S}dA=\mathop{\iint}_{D_{xy}} \sqrt{1+(\frac{\partial f}{\partial x})^2+(\frac{\partial f}{\partial y})^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y 　　跟着马同学，看图学数学，欢迎加入马同学图解数学 　　考虑曲面微时，首先明确该微是由
x,y 的微小变化引起的，此时：当
y 保持不动，
x 增加
\mathrm{d}x 时，曲面上的点变化的向量为：
\mathbf{r}_x = (\mathrm{d}x,0,\mathrm{d}z) 当
x 保持不动，
y 增加
\mathrm{d}y 时，曲面上的点变化的向量为：
\mathbf{r}_y =(0,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z) 　　上述两个分量变化引起的曲面微的变化量为： 　　
\mathrm{d} S =|\mathbf{r}_x \times \mathbf{r}_y| = \left|\begin{vmatrix} \vec{\mathbf{i}}& \vec{\mathbf{j}}& \vec{\mathbf{k}} \\ \mathrm{d} x & 0& \mathrm{d} z \\ 0 & \mathrm{d} y& \mathrm{d} z \\ \end{vmatrix} \right|= \sqrt{\left ( \mathrm{d} y\mathrm{d} z \right )^2 + \left ( \mathrm{d} z\mathrm{d} x \right )^2+\left ( \mathrm{d} x\mathrm{d} y \right )^2} \\即：
\mathbf{r}_x \times \mathbf{r}_y 的模。 　　此时可以提出
\mathrm{d} x\mathrm{d} y，只要注意到 　　(1)
z=z(x,y)，因此 　　
\mathrm{d} z = z_x \mathrm{d} x+ z_y\mathrm{d} y \\ 　　(2) 但
x,y 是独立的变量，并无函数关系，此时： 　　
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y} =\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=0 \\ 　　那么显然，当对曲面微提出
\mathrm{d} x\mathrm{d} y 时： 　　
\begin{align} \mathrm{d} S & = \sqrt{\left ( \mathrm{d} y\mathrm{d} z \right )^2 + \left ( \mathrm{d} z\mathrm{d} x \right )^2+\left ( \mathrm{d} x\mathrm{d} y \right )^2}\\ & =\sqrt{\left ( \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} x} \right )^2 + \left ( \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} y}\right )^2+1} \; \mathrm{d} x\mathrm{d} y\\ & =\sqrt{\left ( z_x \right )^2 + \left ( z_y \right )^2+1}\; \mathrm{d} x\mathrm{d} y\\ \end{align} \\

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