积分器的输入输出关系_三相交流电波形图讲解

模拟电路——运算放大器（下）　　前文“模拟电路——运算放大器（上）”主要讲解运算放大器的基础知识，　　本文主要讲解运算放大器的应用。　　一、相加器　　相加器，顾名思义，其功能是实现信号的相加，即输出信号等于两个输入信号的和。　　用数学式表示为
$u_{o}=au_{i1}+bu_{i2}$ ,其中a、b是常系数，
$u_{o}$ 表示输出信号，
$u_{i1}$ 、
$u_{i2}$ 表示输入信号。　　为了实现以上功能，很容易想到电阻串联分压的方法，比如以下电路

　　实现了
$u_{0}=\frac{R_{2}//R_{3}}{R_{1}+R_{2}//R_{3}}u_{i1}+\frac{R_{1}//R_{3}}{R_{2}+R_{1}//R_{3}}u_{i2}$ （该关系式由叠加定理得到）。　　但是上图这样的电路，有以下缺陷。　　1.信号只有衰减，不能放大。由于相加原理是基于电阻分压实现的，所以输出信号只能是相比输入信号有衰减的信号，而不能放大。　　2.负载变化，分压系数也随之变化。比如在R3两端并联一个负载电阻
$R_{L}$ ，
$R_{L}$ 的值会影响
$u_{0}$ 。　　3.两输入信号源互相有影响。　　为了解决以上问题，我们可以使用运算放大器来设计加法器。　　理想运算放大器的输入电阻是无穷大，输出电阻为0，因而能起到隔离不同信号源的作用。同时运算放大器本身就具有放大信号的功能。　　1.同相加法器　　

　　上图中，
$u_{+}=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}u_{i1}+\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}u_{i2}$ （由叠加定理得），　　
$u_{o}=\frac{R_{f}+R}{R}u_{-}=\frac{R_{f}+R}{R}u_{+}=(1+\frac{R_{f}}{R})u_{+}$ （
$u_{-}=u_{+}$ 由理想运算放大器的虚短性质得出）。　　但是，这个电路中，由于两个输入信号都处于运算放大器的同一输入端，而不是分别处于不同的输入端，所以没能发挥理想运算放大器的隔离作用。因此，这个电路仍然有两信号源间相互影响的问题。　　2.反相加法器　　为了解决上面这个问题，反相加法器被设计出来，电路如下图所示。

　　因为反相端虚地（何为虚地见模拟电路——运算放大器）　　由叠加定理得，
$u_{o}=-\frac{R_{f}}{R_{1}}u_{i1}-\frac{R_{f}}{R_{2}}u_{i2}-\frac{R_{f}}{R_{3}}u_{i3}$ 　　这个电路中，因为反相端虚地，所以各电流值由该支路信号源和电阻独立决定，所以各信号源互不影响。　　二、相减器　　相加器，顾名思义，其功能是实现信号的相减，即输出信号等于两个输入信号的差。　　用数学式表示为
$u_{o}=au_{i1}-bu_{i2}$ ,其中a、b是常系数，
$u_{o}$ 表示输出信号，
$u_{i1}$ 、
$u_{i2}$ 表示输入信号。　　1.不同类型的相减器　　①.实现a=b+1（输入输出关系式如此表示为
$u_{o}=au_{i1}-bu_{i2}$ 时）的减法运算。　　电路如下图所示。

　　上图中，
$u_{o}=\frac{R_{2}+R_{3}}{R_{2}}u_{i1}-\frac{R_{3}}{R_{2}}u_{i2}=（1+\frac{R_{3}}{R_{2}}）u_{i1}-\frac{R_{3}}{R_{2}}u_{i2}$ （由叠加定理得）。　　可见，该电路只能实现a=b+1（输入输出关系式如此表示为u_{o}=au_{i1}-bu_{i2}时）的减法运算。　　②.实现a<b+1（输入输出关系式如此表示为u_{o}=au_{i1}-bu_{i2}时）的减法运算。　　为了实现a<b+1的减法运算，设计出了如下图所示的电路。

　　图中，
$u_{o}=\frac{R_{2}+R_{3}}{R_{2}}\frac{R_{4}}{R_{1}+R_{4}}u_{i1}-\frac{R_{3}}{R_{2}}u_{i2}=（1+\frac{R_{3}}{R_{2}}）\frac{R_{4}}{R_{1}+R_{4}}u_{i1}-\frac{R_{3}}{R_{2}}u_{i2}$ 　　（由叠加定理得）。　　特殊的，若使
$R_{2}=R_{1}$ ，
$R_{4}=R_{3}$ ，则满足
$a=b=\frac{R_{3}}{R_{2}}$ （输入输出关系式如此表示为u_{o}=au_{i1}-bu_{i2}时）。这一情况在设计相减器时是最常遇到的。　　③.实现a>b+1（输入输出关系式如此表示为u_{o}=au_{i1}-bu_{i2}时）的减法运算。　　为了实现a>b+1的减法运算，设计出了如下图所示的电路。

　　图中，
$u_{o}=\frac{R_{2}//R+R_{3}}{R_{2}//R}u_{i1}-\frac{R_{3}}{R_{2}}u_{i2}$ （由叠加定理得）。　　2.相减器的典型应用　　①称重放大器

　　称重传感器为文氏电桥压力传感器。当重量等于零时，压敏电阻
$R_{x}=R$ ，电桥处于平衡状态，
$u_{A}=u_{B}$ ，经相减器运算，输出
$u_{o}=0$ 。当有重量时，
$R_{x}\ne R$ ，电桥失去平衡，
$u_{A}\ne u_{B}$ ，导出
$u_{o}$ 与
$R_{x}$ 的关系式，就可知道被测重量。　　②直流电平移位　　③抑制共模干扰　　3.简单相减器存在的问题　　

　　如上图所示，
$u_{o}=\frac{R_{2}+R_{3}}{R_{2}}\frac{R_{4}}{R_{1}+R_{4}}u_{i1}-\frac{R_{3}}{R_{2}}u_{i2}=（1+\frac{R_{3}}{R_{2}}）\frac{R_{4}}{R_{1}+R_{4}}u_{i1}-\frac{R_{3}}{R_{2}}u_{i2}$ 　　问题1：调节增益困难，必须要同步调节两个电阻；　　问题2：输入电阻偏小（R1、R4、R2的接入使得输入电阻相比较之下变小了），而且对两个信号源的影响也不同（从反相端和从同相端看入的输入电阻不同）。　　4.仪表放大器　　针对以上问题，设计了仪表放大器，电路如下图所示。

　　上图中，　　
$u_{-1}=u_{i1}$ ，
$u_{-2}=u_{i2}$ （由理想运算放大器的虚短特性得）　　
$i_{x}=\frac{u_{-1}-u_{-2}}{R_{x}}=\frac{u_{i1}-u_{i2}}{R_{x}}$ 　　
$u_{o1}-u_{o2}=i_{x}(R+R+R_{x})=\frac{u_{i1}-u_{i2}}{R_{x}}(2R+R_{x})$ （由理想运算放大器的虚断特性得）　　
$u_{o}=\frac{R_{3}+R_{4}}{R_{3}}\frac{R_{4}}{R_{3}+R_{4}}u_{o1}-\frac{R_{4}}{R_{3}}u_{o2}=\frac{R_{4}}{R_{3}}(u_{o1}-u_{o2})=\frac{R_{4}}{R_{3}}(1+\frac{2R}{R_{x}})(u_{i1}-u_{i2})$ 　　
$A_{u}=\frac{u_{o}}{u_{i1}-u_{i2}}=\frac{R_{4}}{R_{3}}(1+\frac{2R}{R_{x}})$ 　　可见，要调整增益，只需调节
$R_{x}$ 。　　三、积分器　　积分器，顾名思义，其功能是使输出与输入的积分成正比，即
$u_{o}(t)=k\int_{}^{}u_{i}(t)dt$ 。　　1.反相积分器电路　　

　　①时域分析　　由理想运算放大器的虚断特性知道正相输入端无电流，因而
$u_{+}=0$ 。　　再由理想运算放大器的虚短特性知道
$u_{-}=u_{+}=0$ 。　　从而
$u_{o}(t)=-u_{c}(t)=-\frac{Q}{C}=-\frac{1}{C}\int_{}^{}i_{c}(t)dt=-\frac{1}{C}\int_{}^{}i(t)dt=-\frac{1}{C}\int_{}^{}\frac{u_{i}(t)}{R}dt=-\frac{1}{RC}\int_{}^{}u_{i}(t)dt$ 　　令
$RC=\tau$ ，并称
$\tau$ 为积分时常数。　　②频域分析　　
$A_{u}(j\omega)=\frac{u_{o}(j\omega)}{u_{i}(j\omega)}=-\frac{\frac{1}{j\omega C}}{R}=-\frac{1}{j\omega CR}=-\frac{1}{j\omega \tau}$ 　　
$|A_{u}(j\omega)|=$
$\frac{1}{\omega CR}$ ，
$\Delta\varphi(j\omega)=-90^{。}$ 　　可见，输入信号频率越高，输出衰减越大，且输出相比输入产生90度的滞后相移。　　2.同相积分器和差分积分器电路　　①差分积分器　　差分积分器电路如下图所示。

　　
$u_{o}(j\omega)=\frac{1}{j\omega RC}[u_{i1}(j\omega)-u_{i2}(j\omega)]$ 　　
$u_{o}(t)=\frac{1}{RC}\int_{}^{}[u_{i1}(t)-u_{i2}(t)]dt$ 　　②同相积分器　　同相积分器就是在差分积分器的基础上，令
$u_{i2}(t)=0$ ，即反相端接地，此时　　
$u_{o}(j\omega)=\frac{1}{j\omega RC}u_{i1}(j\omega)$ 　　
$u_{o}(t)=\frac{1}{RC}\int_{}^{}u_{i1}(t)dt$ 　　3.积分器的应用　　信号检测、滤波器、A/D变换器、波形发生器（将方波变为三角波）、正交信号产生器（利用了积分器
$\Delta\varphi(j\omega)=-90^{。}$ 的特点）。　　4.工程应用中的积分器　　

　　在电容上并联一个大电阻
$R_{2}$ ，保证直流也有负反馈通路，否则积分器将不容易正常工作。　　在没并联电阻
$R_{2}$ 前，
$A_{u}(j\omega)=\frac{u_{o}(j\omega)}{u_{i}(j\omega)}=-\frac{\frac{1}{j\omega C}}{R}=-\frac{1}{j\omega CR}=-\frac{1}{j\omega \tau}$ 。　　并联电阻
$R_{2}$ 后，
>1}\approx-\frac{1}{j\omega RC}” eeimg=”1″> 　　注意
>1″ eeimg=”1″> 。　　四、微分器　　微分器，顾名思义，其功能是使输出与输入的微分成正比，即
$u_{o}(t)=k\frac{du_{i}(t)}{dt}$ 。

　　①时域分析　　再由理想运算放大器的虚短特性知道
$u_{-}=u_{+}=0$ 。　　从而
$u_{o}(t)=-i_{R}(t)R=-i_{C}(t)R=-RC\frac{du_{i}(t)}{dt}=-\tau\frac{du_{i}(t)}{dt}$ ，　　
$RC=\tau$ ，并称
$\tau$ 为积分时常数。　　②频域分析　　
$A_{u}(j\omega)=\frac{u_{o}(j\omega)}{u_{i}(j\omega)}=-\frac{{R}}{\frac{1}{j\omega C}}=-j\omega CR=-j\omega \tau$ 　　
$|A_{u}(j\omega)|=$
$\omega CR$ ，
$\Delta\varphi(j\omega)=90^{。}$ 　　可见，输入信号频率越高，输出增益越大，且输出相比输入产生90度的超前相移。　　但是对于极高频的信号而言，电容相当于短路，此时输出增益十分大，很容易引起工作不稳定，甚至出现自激振荡或高频干扰。　　为了解决以上问题，可以在电容支路串接一个小电阻，如下图所示。

　　此时，
$A_{u}(j\omega)=\frac{u_{o}(j\omega)}{u_{i}(j\omega)}=-\frac{{R}}{R_{2}+\frac{1}{j\omega C}}=-\frac{j\omega RC}{1+j\omega R_{2}C}|_{\omega R_{2}C<<1}\approx-j\omega RC$ 。　　微分器可以使三角波变为方波，方波变为尖脉冲。　　微分器存在的问题　　微分器的增益随着频率增大而增大，当输入信号含有高频干扰或噪声时，经运算放大器放大后，容易形成很大的高频干扰和输出噪声。　　因此，微分器少有应用。在实际工程应用中，微分器常用积分器代替，由积分器实现微分功能。　　比如下图中的微分积分变换，将微分转换为积分后，用积分器来实现最初设定的微分功能。

　　五、电压——电流变换器（V/I）　　电压——电流变换器（V/I）是将电压信号转化为电流信号的装置。　　电压——电流变换器（V/I）的实际用途：　　①信号远距离传输时，电流信号比电压信号不易受干扰。　　②用于产生压控电流源。　　1.负载浮地情况　　此情况的电压——电流变换器电路如下图所示。

　　负载
$R_{L}$ 与地之间有一个电阻
，这样就使得负载不接地，也就是浮地。　　由理想运算放大器的虚短特性知道
$u_{i}=U_{+}=U_{-}$ ，　　从而
$i_{R}=\frac{U_{-}}{R}=\frac{u_{i}}{R}$ ，　　再由理想运算放大器的虚断特性知道
$i_{L}=i_{R}=\frac{u_{i}}{R}$ 。　　可见，负载电流正比于输入电压，而与负载无关。　　2.负载接地情况　　此情况的电压——电流变换器电路如下图所示。

　　由理想运算放大器的虚断特性知道
$i_{R4}-i_{L}=i_{R_{2}}$ 。　　从而
$U_{+}=i_{R2}*R_{2}=(i_{R4}-i_{L})*R_{2}=(\frac{u_{o}-U_{+}}{R_{4}}-i_{L})*R_{2}$ 　　
$\frac{U_{+}}{R_{2}}=\frac{u_{o}-U_{+}}{R_{4}}-i_{L}$ ，
$U_{+}=\frac{R_{4}R_{2}}{R_{4}+R_{2}}(\frac{u_{o}}{R_{4}}-i_{L})$ 　　再由理想运算放大器的虚短特性知道
$U_{-}=U_{+}=(\frac{u_{o}-U_{+}}{R_{4}}-i_{L})*R_{2}$ 　　从而有
$u_{o}=\frac{U_{-}-U_{i}}{R_{1}}*(R_{1}+R_{3})$ ，　　
$i_{R4}=\frac{u_{o}}{R_{4}+R_{2}//Z_{L}}$ ，
$i_{R2}=\frac{U_{+}}{R_{2}}=\frac{u_{o}-U_{+}}{R_{4}}-i_{L}=\frac{u_{o}-\frac{R_{4}R_{2}}{R_{4}+R_{2}}(\frac{u_{o}}{R_{4}}-i_{L})}{R_{4}}-i_{L}$ 　　
$i_{L}=i_{R4}-i_{R2}=...$ （得到
$i_{L}$ 与
$u_{o}$ 的关系式）　　当满足条件
$R_{1}R_{4}=R_{2}R_{3}$ 或
$R_{1}=R_{2}=R_{3}=R_{4}=R$ 时　　有
$I_{L}=-\frac{u_{i}}{R_{2}}$ 　　可见，这种电压——电流变换器电阻虽然能够在负载接地的情况下实现电压电流变换的功能，但是具有以下缺陷：　　①配对困难（要使
$I_{L}=-\frac{u_{i}}{R_{2}}$ ，需要调整
$R_{1}$ 、
$R_{2}$ 、
$R_{3}$ 、
$R_{4}$ ）；　　②改变互导增益困难（互导增益
$A_{g}=\frac{I_{L}}{u_{i}}=- \frac{1}{R_{2}}$ ，要改变互导增益就要改变
$R_{2}$ ,从而
$R_{1}$ 、
$R_{3}$ 、
$R_{4}$ 都要跟着
$R_{2}$ 改变）　　为了解决以上的问题，在负载接地时，可以利用集成电路（INA133）设计电压——电流变换器电路。

　　由于集成电路是在同一个硅片上加工制作而成的，所以集成电路内部的各器件间匹配性很好（比如电阻受温度的影响特性是相同的），这样就可以保证各个电阻阻值的相互关系保持不变。　　
$U_{-}=\frac{1}{2}u_{i2}+\frac{1}{2}u_{o}$ （由叠加定理得），
$U_{+}=\frac{1}{2}u_{i1}+\frac{1}{2}(u_{o}-I_{L}R)$ （OPA131是一个电压跟随器，其输出电压等于正相输入端电压
$u_{o}-I_{L}R$ ，再由叠加定理得
$U_{+}$ ）。　　由理想运算放大器的虚短特性知道
$U_{+}=U_{-}$ ，根据这个关系式可得
$I_{L}=\frac{u_{i1}-u_{i2}}{R}$ 。　　可见，这个电路有以下优点：　　①由一个集成电路INA133和一个运算放大器OPA131组成，这两个器件都很便宜，成本低；　　②
$I_{L}$ 只与输入电压差和电阻
有关，改变互导增益（即转换比）容易，改变电流方向容易（通过改变输入电压差的方向）。　　六、电流——电压变换器（I/V）　　电流——电压变换器（I/V）是将电流信号转化为电压信号的装置。　　电流——电压变换器（I/V）的实际用途：　　①信号远距离传输后，将用于传输的电压信号变换为电流信号。　　②用于检测弱电流，如光电流检测。　　下面介绍实现电流——电压变换器的不同方案。　　1.将微弱光电流转换为电压输出的互阻放大器　　

　　(a)(b)两图是不同输入信号的情况。　　
$u_{o}=iR$ ，
$A_{r}=\frac{u_{o}}{i}=R$ 　　因为输入信号的电流就已经很小了，若运算放大器还有较大的偏流（正相端和负相端之间有电流），则输出电压
$u_{o}$ 会偏离准确值很多。　　因此该方案的电流——电压变换器要求运算放大器的输入偏流特别小。　　2.将微弱光电流转换为电压输出的积分放大器　　

　　

　　
$S_{1}$ 是积分开关（高电平时开始积分），
$S_{2}$ 是复位开关（低电平有效）。　　
$u_{o}=\frac{1}{C}\int_{}^{}I_{i}dt=\frac{\Delta t}{C}I_{i}$ （
$\Delta t$ 是积分的时间，C是并联电容的总电容）　　
$A_{r}=\frac{u_{o}}{I_{i}}=\frac{\Delta t}{C}$

积分器的输入输出关系_三相交流电波形图讲解

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