二阶低通滤波器q值_二阶低通滤波器q值与带宽

2024年 5月 20日下午9:02 • 激活谷笔记

离散时域滤波器的实现（四）有限字长表示与误差分析
　　当鲜花凋零遍地，是否有新的种子在萌芽？

　　一、回顾

　　上节总结了FIR系统的结构设计。Michael Lieman：离散时域滤波器的实现（三）FIR系统的实现

　　自此，理论原理已经了解完毕，接下来要进入到计算机实际运算过程中，出现的有限字长表示等概念及其带来的量化误差对LTI系统的影响。

　　二、有限精度数值效应概览

　　当在滤波器实现中使用有限精度表示时，有三个可能的考虑因素会影响其输出的整体质量：对滤波器参数 $\left\{ a_k,b_k \right\}$ 数值化成 $\left\{ \hat{a}_k,\hat{b}_k \right\} .$ 对输入序列 $\{x_n\}$ 数值化成 $\left\{ \hat{x}_n \right\} .$ 对输出序列 $\{y_n\}$ 数值化成 $\left\{ \hat{y}_n \right\} .$

　　示意图如下：

　　我们首先讨论计算机中的数字表示，这导致了数字量化的过程和由此产生的误差表征。

　　然后分析滤波器系数量化对数字滤波器频率响应的影响。

　　乘法和加法量化(统称为算术舍入误差)对滤波器输出的影响将在第10章中讨论。

　　2.1. 数字的表示

　　众所周知，计算机中使用二进制比特来表示实数。根据信号处理中所要求的复杂度和精确度，有两种方式实现：

　　定点(fixed-point)数和浮点(floating-point)数。前者容易实现，但是所能表示的数值大小范围固定。而后者较难

　　实现，但是具有动态的表示范围。

　　此外，由于计算机只能储存二进制比特，因此对于负数的表示，出现了三种不同的方法，分别为

　　原码 sign-magnitude format；

　　反码 one’s-complement format；

　　补码 two’s-complement format；

　　余码 excess-2B−1 format 。

　　下面我们来看具体内容。

　　2.2.定点数表示

　　我们知道

　　 $x\equiv b_{B-1}b_{B-2}...b_0=b_{B-1}\times 2^{B-1}+b_{B-2}\times 2^{B-2}+\cdots +b_0\times 2^0 \tag{2.1.1.1}$

　　对于正数而言，B位比特数可以表示 $0 \sim 2^B-1$ 之间的正整数。

　　举例如下：

　　2.2.1.原码：

　　第一位作为符号位，之后为绝对值，可以表示 $-（2^{B-1}-1）\sim 2^{B-1}-1$ .

　　示例如下：

　　2.2.2.反码：

　　对正值全部取反，即得负值。可以表示 $-（2^{B-1}-1）\sim 2^{B-1}-1$ .

　　举例如下：

　　缺点：对于0存在两种表示方法，加法的实现稍显复杂。

　　2.2.3.补码：

　　对正值取反后再加一，得到负值。可以表示 $-2^{B-1}\sim 2^{B-1}-1$ .

　　 $x_{\left( 2^B \right)}\triangleq \left\{ \begin{array}{c} x,x\ge 0;\\ 2^B-\left| x \right|,x<0\\ \end{array} \right. \tag{2.1.1.3}$

　　优点：0只有一种表示形式，增加了一个负数表示。正数的补码是负数，负数的补码刚好是原来的正数。统一了加法和减法。在一定的范围内，两个正数相加得到正结果，两个负数相加得到负结果。

　　举例如下：

　　2.2.4.余码：

　　满足

　　 $x_{\left( e \right)}\triangleq 2^{B-1}+x \tag{2.1.1.4}$

　　举例如下：

　　2.3.一般定点数表示

　　前面所能够表示的只有正数，我们可以扩展到有限精度实数。其一般表示为

　　 $\hat{x}=\pm \,\,\underset{L}{\underbrace{xx\cdots x}}\,\,\blacktriangle \,\,\underset{B}{\underbrace{xx\cdots x}} \tag{2.3.1}$ 共有 M=1+L+B 位字长。由1个符号位，L个整数位，B个分数位构成。

　　2.4.浮点数表示

　　现在我们考虑一些数量级比较大的数，如果使用定点数表示法，需要极大的字长，然而在物理现实中，这种数的精度并不高，因此我们联想到科学计数法来表示大数：

　　 $x=\pm M\times R^{\pm E} \tag{2.4.1}$

　　对于二进制浮点数，我们规定指数采用L位余码格式表示；规范化：小数点后紧跟1，共B位小数（ $\frac{1}{2}\le M <1$ ）。

　　即 $\hat{x}=\pm \,\,\underset{L-bit\,\,E}{\underbrace{xx\cdots x}}\,\,\blacktriangle \,\,\underset{B-bit\,\,M}{\underbrace{1x\cdots x}} \tag{2.4.2}$ 要注意，左侧的E代表指数部分。