二阶低通滤波器截止频率_二阶低通滤波器截止频率计算

二阶巴特沃斯高低通滤波器系数计算
　　概述

　　二阶巴特沃斯滤波器是一种常用的信号处理工具。可用于滤除高频噪声，保留低频信号。该滤波器具有瓶阀的频率响应和较好的相位特性，被广泛应用于音频处理、图像处理、通信系统等领域。

　　二阶巴特沃斯滤波的设计基于巴特沃斯滤波器原理，巴特沃斯滤波器是指在通频带内响应平坦的滤波器。二阶巴特沃斯低通滤波器的特点是在截止频率处有较为平缓的过渡带，可以有效地滤除高频噪声，同时保留低频信号。

　　巴特沃斯滤波器的设计过程需要确定两个关键参数：截止频率和阶数。截止频率是指滤波器开始衰减的频率，阶数是指滤波器的阶次，决定了滤波器的陡度。在二阶巴特沃斯低通滤波器中，阶数为2，因此可以实现较为陡峭的滤波器特性。

　　设计二阶巴特沃斯低通滤波器的步骤如下：

　　1. 确定截止频率：根据实际应用需求和信号特性，旋转适当的截止频率。截止频率是滤波器响应的开始下降的频率，通常以赫兹（HZ)为单位。

　　2. 计算滤波器参数：根据截止频率和采样频率，计算滤波器的一些关键参数，如角频率、Q值等。角频率是指滤波器的截止频率与采样频率的比值，Q值是值滤波器的品质因数，决定了滤波器的频率响应特性。

　　3. 设计滤波器传递函数：利用巴特沃斯滤波器的传递函数公式，根据计算得到的参数，确定滤波器的传递函数。传递函数描述了输入信号与输出信号之间的关系，可以用于计算滤波器的频率响应和相位特性。

　　4. 实现滤波器：利用计算得到的传递函数，可以进行滤波器的实现。常见实现方式包括巴特沃斯滤波器电路、数字滤波器算法等。

　　5. 验证滤波效果：在设计完成后，需要对滤波器的性能进行验证。可以通过输入不同频率的测试信号，观测输出信号频率特性和相位特性，以验证滤波器的工作是否符合设计要求。

　　二阶巴特沃斯滤波器特点：

　　1. 平滑的频率响应、较好的相位特性和较高的滤波器效果。

　　2. 滤波器阶数较低，难以实现非常陡峭的滤波特性。

　　3.设计过程中需要权衡截止频率和滤波器的阶数，以达到滤波器效果和计算复杂度之间的平衡。

　　4.常用信号处理工具，在音频、图像和通信等领域有广泛的应用。通过合理的设计和实现，可以实现对高频

　　噪声的滤除，保留低频信号，从而提升信号质量和系统性能。

　　计算二阶巴特沃斯低通滤波器的系数

　　使用

　　采样频率：10kHz截止频率：1kHz

　　如何实际计算下面的差分方程的系数？

　　知道差分方程将采用这种形式，但不知道如何实际算出系数b0，b1，b2，a1，a2的数字。图1

　　ff是频率比,在上面的情况下为ff=0.1=截止频率/采样频率:

　　滤波器设计原则：截止频率低、动态响应快、延时尽可能小。二阶巴特沃斯低通滤波器特点：阶数低，数据量小。参数旋转合理的情况下，可做的平滑滤波，无超调。

　　图1的二阶低通巴特沃斯差分方程将在C语言中实现此LPF，但是需要知道如何首先实际计算系数，然后才能使用它。

　　C 语言代码：1234567const double ita =1.0/ tan(M_PI*ff); const double q=sqrt(2.0); b0 = 1.0 / (1.0 + q*ita + ita*ita); b1= 2*b0; b2= b0; a1 = 2.0 * (ita*ita – 1.0) * b0; a2 = -(1.0 – q*ita + ita*ita) * b0; // M_PI =3.14 弧度 ff=0.1=截止频率/采样频率:1234567const double ita =1.0/ tan(M_PI*ff); const double q=sqrt(2.0); b0 = 1.0 / (1.0 + q*ita + ita*ita); b1= 2*b0; b2= b0; a1 = 2.0 * (ita*ita – 1.0) * b0; a2 = -(1.0 – q*ita + ita*ita) * b0;1234567const double ita =1.0/ tan(M_PI*ff); const double q=sqrt(2.0); b0 = 1.0 / (1.0 + q*ita + ita*ita); b1= 2*b0; b2= b0; a1 = 2.0 * (ita*ita – 1.0) * b0; a2 = -(1.0 – q*ita + ita*ita) * b0;1234567const double ita =1.0/ tan(M_PI*ff); const double q=sqrt(2.0); b0 = 1.0 / (1.0 + q*ita + ita*ita); b1= 2*b0; b2= b0; a1 = 2.0 * (ita*ita – 1.0) * b0; a2 = -(1.0 – q*ita + ita*ita) * b0;1234567const double ita =1.0/ tan(M_PI*ff); const double q=sqrt(2.0); b0 = 1.0 / (1.0 + q*ita + ita*ita); b1= 2*b0; b2= b0; a1 = 2.0 * (ita*ita – 1.0) * b0; a2 = -(1.0 – q*ita + ita*ita) * b0;1234567const double ita =1.0/ tan(M_PI*ff); const double q=sqrt(2.0); b0 = 1.0 / (1.0 + q*ita + ita*ita); b1= 2*b0; b2= b0; a1 = 2.0 * (ita*ita – 1.0) * b0; a2 = -(1.0 – q*ita + ita*ita) * b0;1234567const double ita =1.0/ tan(M_PI*ff); const double q=sqrt(2.0); b0 = 1.0 / (1.0 + q*ita + ita*ita); b1= 2*b0; b2= b0; a1 = 2.0 * (ita*ita – 1.0) * b0; a2 = -(1.0 – q*ita + ita*ita) * b0;

　　结果为：

　　b0 = 0.0674553b1 = 0.134911b2 = 0.0674553a1 = 1.14298a2 = -0.412802

　　说明 ： 上面的系数包含差分方程的符号位。其中a0=1(固定的）。有没有办法可以修改它以计算出不同的截止频率和采样频率，以任何输入的系数？只需使用提供的公式，ff是截止频率和采样频率的比率：ff=f_cutoff f_sampling。

　　计算法公式来源

　　对于那些想知道其他答案中的神奇公式从何而来的人，以下是此示例的推导。

　　从巴特沃斯滤波器的传递函数开始

　　G(s) = wc^2 / (s^2 + s*sqrt(2)*wc + wc^2)

　　其中wc是截止频率，请应用双线性z变换，即替换s = 2/T*(1-z^-1)/(1+z^-1)：

　　G(z) = wc^2 / ((2/T*(1-z^-1)/(1+z^-1))^2 + (2/T*(1-z^-1)/(1+z^-1))*sqrt(2)*wc + wc^2)

　　T是采样周期▼显示。

　　截止频率需要预先扭曲以补偿非线性z转换引入的模拟频率与数字频率之间的关系：

　　wc = 2/T * tan(wd*T/2)

　　其中wd是所需的截止频率[rad / s]。

　　为方便起见，让C = tan(wd*T/2)，以便wc = 2/T*C。

　　将其代入方程式，2/T因数下降：

　　G(z) = C^2 / ((1-z^-1)/(1+z^-1))^2 + (1-z^-1)/(1+z^-1)*sqrt(2)*C + C^2)

　　将分子和分母乘以(1+z^-1)^2并展开，得到：

　　G(z) = C^2*(1 + 2*z^-1 + z^-2) / (1 + sqrt(2)*C + C^2 + 2*(C^2-1)*z^-1 + (1-sqrt(2)*C+C^2)*z^-2')

　　现在，将分子和分母除以分母中的常数项。为了方便起见，让D = 1 + sqrt(2)*C + C^2：

　　G(z) = C^2/D*(1 + 2*z^-1 + z^-2) / (1 + 2*(C^2-1)/D*z^-1 + (1-sqrt(2)*C+C^2)/D*z^-2')

　　此表单等同于我们正在寻找的表单：

　　G(z) = (b0 + b1*z^-1 + b2*z^-1) / (1 + a1*z^-1 +a2*z^-2)

　　因此我们通过将它们相等来获得系数：

　　a0 = 1

　　a1 = 2*(C^2-1)/D

　　a2 = (1-sqrt(2)*C+C^2)/D

　　b0 = C^2/D

　　b1 = 2*b0

　　b2 = b0

　　同样，其中D = 1 + sqrt(2)*C + C^2，C = tan(wd*T/2)，wd是所需的截止频率[rad / s]，T是采样周期▼显示。

　　您可以使用此链接具有特定采样率和频率削减的n阶Butterworth滤波器的系数。为了测试结果。您可以使用MATLAB获得系数并与程序的输出进行比较

　　//matlab 程序表达

　　–////////////matlab 程序开始////////////

　　fnorm=f_cutoff/(f_sample_rate/2);%normalized cut off freq, http://http://www.exstrom.com/journal/sigproc

　　%Low pass Butterworth filter of order N

　　[b1, a1]=butter(nth_order, fnorm,'low');

　　–////////////matlab 程序结束////////////

　　请注意，Matlab和Wn(由SCIPY使用)使用的Fnorm是五角形答案中使用的FF值的一半。

　　二阶巴特沃斯高通滤波器系数的计算

　　仅供参考

　　如果您需要高通滤波器系数，则只需使用相同的代码即可：

　　constdoubleita=1.0/tan(M_PI*ff);

　　constdoubleq=sqrt(2.0);

　　b0=1.0/(1.0+q*ita+ita*ita);

　　b1=2*b0;

　　b2=b0;

　　a1=2.0*(ita*ita-1.0)*b0;

　　a2=-(1.0-q*ita+ita*ita)*b0;

　　然后将所有b项乘以ita ^ 2并取反b1

　　b0=b0*ita*ita;

　　b1=-b1*ita*ita;

　　b2=b2*ita*ita;

　　澄清：a1和a2保持不变。只有b值改变