一阶RC滤波器算法研究
概述
滤波器设计是一个非常重要的事情，在实际的工程项目设计时通常利用数字滤波代替模拟滤波，但是数字滤波有时候需要很多资源也很难达到仅仅需要一个电容和电阻实现的模拟滤波电路。在实际的数字滤波器设计时基本的滤波算法都是根据RC模型来进行推导和演变来的。
滤波是频域范畴，它说的是不同频率的信号经过一个电路处理后，信号发生变化的问题，变化包含了原始信号幅值和相位的变化，滤波电路对信号的幅值做出的响应称为幅频响应，对信号相位做出的反应称为相频响应。每一个频率的信号对应在时域就是信号的充放电特性。 滤波通常借助动态器件如电感和电容，利用它们在不同频率下阻抗变化，从而在其上面产生压降，对我们需要去除的信号进行衰减，从而达到滤波的效果。 我们知道电感和电容的阻抗特性其实就是储能特性，储能意味着时间特性，需要过程，这个过程是滤波特性的体现的一方面。
一阶RC低通滤波器硬件电路图
传递函数推导：
RC无源网络的动态方程：
式中i 为流过电阻R和电容C的电流，根据上式可以消去电流变量得到
从而得到输出与输入的关系：
输出与输入离散关系：
根据上式可以得到系统的拉式变换后的传递函数：
系统的截止频率为：
分析方法和工具
在s域，写出回路的传递函数，根据波特图进行分析，传递函数是输入和输出的增益关系，为了同时分析相位和幅值引入虚数，并且在虚平面进行分析，和频率相关的电路阻值特性，我们用阻抗描述，通常包含实部与虚部，这个数学工具的引入，包含了幅值和相位信息的体现，简化了分析难度。
由于自然界正弦信号认为是单一频率的信号，是基础信号，不可再分解，其它信号是以正弦为基础的合成信号，所以，以下从电路输入某个频率的正弦信号开始分析。正弦信号输入这些线性电路，达到稳定后，输出信号只会发生幅值和相位的改变，不改变信号的频率。
RC低通滤波器幅频和相频特性：
RC滤波电路：
从传递函数解出一个称作为极点的根，即令传递函数的分母为零，最后得出一个频率，由于这个频率从波特图上看，曲线在这个点前后发生突变的现象，我们形象地将这个频率称为“转折频率”，转折频率意味着一个响应发生“突变”的频率点，转折意味着响应的转弯点，前后会发生较大的变化。记住波特图图横轴是频率，代表着一系列不同频率信号通过这个电路后，输出会发生不一样的变化，是一系列的信号，不是单一信号。转折频率代表了电路的固有特性，是电路参数和结构导致的结果，是电路的固有属性。
幅频和相频曲线：（传递函数幅度增益与频率的关系；传递函数相位与频率的关系）
（1）直流增益，即低频增益，在传递函数中令s=0，得到直流增益为1，转换成dB刚好为0dB（0dB=20log1），这正是我们无源器件低通滤波器的特点，不能放大信号，在低频段，电容容抗几乎为无穷大，即电容为开路状态，信号被原模原样传输过来，这时候增益就是1，由于电容看做开路，那么阻性电路中，信号自然也不会产生任何相位偏移。
（2）转折频率的地方，这个频率的信号增益被衰减到原来的70.7%，也就是-3dB的地方，图中为-2.99dB对应转折频率为15.9Hz，这是由于实际计算转折频率为15.915Hz，存在一点误差。对相位来说，在这个频率点，相位会偏移-45°，负号表示信号被滞后了，从时间看，也就是被延时了。但是对其它不同频率信号在这个频率点前后响应出现较大的不同。之前看做不衰减也就是直流增益部分，之后信号被快速衰减，同时产生一定的相移。
3）延时时间计算，也就是相位延迟和具体时间的对应关系，方便我们理解相位和延迟之间的关系，延迟时间为：延迟时间=Kd*周期延迟系数Kd，即在一个360°周期里延迟角度占有的比例，这里是45/360=1/8，也就是45°占有360°的1/8。转折频率约为15.9Hz，即一个周期为62.89ms。那么，输入信号被延时时间为62.89ms*1/8=7.86ms，输出信号晚来输入信号7.86ms。如下是对一个100Hz和200Hz信号进行延时举例，也说明了相位差和时间差之间的关联，它们一一对应（one to one）
对于RC电路，取不同输出信号，展现的效果不同：
相比于输入信号Uin，稳态后，电容电压为输出信号被滞后45°，并且幅度被衰减到70.7%，从下图波形也可以看出。（稳态后，电阻上电压超前了45°，想象一下，这个电路测量对象不同，带来了“高通”和“低通”的概念）
RC滤波使用（通常与射随器相连，直接带负载影响滤波器的滤波特性）
同时令传递函数的分母为零解出极点，我们可以把它写作为频率的形式，这个频率在波特图中正好是转折频率 
转折频率处，输出信号相比输入信号，输入信号的幅值被衰减到原来的70.7%，相位被滞后45°（图中就是-45，符号表示信号相位被滞后）。
（1）直流增益，也就是低频下的增益，我们对传递函数频率项s=0，那么就得到直流增益，这也是我们在做电源环路中分析中采取的方法得到直流增益。这里直流增益如下，也就是除去了时效性动态器件的影响，纯阻性表现的特性，就是一个简单的分压电路。（直流增益为分压比例）。
（2）转折频率处，我们经过简单计算，得到转折频率为f=95.49kHz，如下图，转折频率处信号衰减到原来的70.7%，即1/6*70%=0.1178，即为-18.6dB，波特图中可以看出，同时相位被滞后45°（-45℃）。这个电路，我们对并联在C1上的R2取值为无限大，我们将R2取值无穷大后，只需要把传递函数简单化简后求极限，则电路重回到开头的RC电路，传递函数和RC低通电路相同。
注：负载的直接接入导致转折频率会向右移，即转折频率比单纯的RC会偏高
总结一下：实际当中，尤其是采样电路，我们经常会用到RC低通滤波，我们会采用输入阻抗很大的运放组成跟随器。在MCU中，采样输入端口往往也是阻抗很大，所以我们也可以直接用RC滤波进行直接接入高输入阻抗端口，这些都是让我们想要的信号幅值不发生衰减，而且几乎不产生相移、设定的转折频率不发生偏移，信号能够被正常采集。
总结一下一阶LC低通滤波器如下：
反过来总结高通滤波器特性如下表：
一阶LC高通滤波器系统离散模型函数
一阶RC离散系统模型函数
一阶RC 低通滤波 matlab仿真建模：
小信号模型仿真
电路级RCmatlab 仿真：
高通滤波器参数为R=1M， C=1uf 。
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