二阶低通滤波器算法_二阶低通滤波器计算

2024年 6月 17日上午11:39 • 激活谷笔记

CUDA 08 | 低通滤波　　在生命游戏实例中，我们知道卷积可以使用纹理内存轻松实现。而滤波则是卷积在频率域中的表达，我们尝试使用CUFFT库来实现几种不同的低通滤波。　　1. 离散傅里叶变换与低通滤波　　傅里叶级数可以表示任意函数，那么求一个函数的傅里叶变换可以理解为求这个函数在傅里叶级数（空间）下的基。从图像的角度上说，就是求图像对二维正余弦信号的“贡献值”。离散傅里叶正变换公式如下：　　
$F(u,v)=\sum_{x=0}^M\sum_{y=0}^Nf(x,y)e^{-2i\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})}$ 　　其中
f(x,y) 是一幅M*N的图像，当
u=0.v=0 时，显然
F(0,0) 就是图像像素值的总和，称为基频。u,v相对比较低时称作低频，相对比较高时称作高频。高频往往包含着一些图像细节关键信息，在图像上表现为梯度的剧烈变化。低频往往包含图像的基本亮度信息。低通滤波即只允许低频通过，会舍弃掉高频信息，图像因此而变模糊。　　傅里叶反变换如下：　　
$f(x,y)=\frac{1}{MN}\sum_{u=0}^M\sum_{v=0}^NF(u,v)e^{2i\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})}$ 　　前面乘以
$\frac{1}{MN}$ 是为了满足能量守恒定律，确保变换前后的一致性。　　现在来谈谈低通滤波，低通滤波，高通滤波，带通滤波都是对正变换得到的
F(u,v) 进行处理，在这里也就是声明一个滤波器
H(u,v) ，与
F(u,v) 逐点相乘即可，考虑如下三种滤波器：　　理想低通滤波器（ILPF）　　设置一个阈值
D_0 ，当
$D(u,v) \leq D_0$ 时，令其通过，即
，否则屏蔽，

M=N=256, d0=20 　　高斯低通滤波器（GLPF）　　
$H(u,v)=e^{-D^2(u,v)/2D_0^2}$

M=N=256, d0=20 　　巴特沃斯低通滤波器（BLPF）　　
$H(u,v)=\frac{1}{1+[D(u,v)/D_0]^2}$

M=N=256, d0=20 　　2. cufft中的二维离散傅里叶变换　　我们使用CUDA的cufft库来实现傅里叶正反变换，然后用我们自己的核函数来实现滤波。cufft中涉及到的函数主要有：　　定义一个cufft句柄，然后使用cufftPlan2d初始化，两个N代表分别图像的长宽，使用复数CUFFT_C2C。　　cufftComplex为库中定义的复数类型结构体，其中成员x和y分别代表实部和虚部。cufftExecC2C代表执行傅里叶变换，CUFFT_FORWARD和CUFFT_INVERSE分别表示正变换和反变换。　　最后回收变量。　　其中有几点值得注意：原始的傅里叶变换是非中心化的，也就是说变换后的基频位于(0,0)处，而在低通滤波中，我们希望基频位于中心，也就是(N/2,N/2)处，这样就可以直接用上一节的滤波器逐项相乘进行滤波。利用傅里叶变换的周期性，在傅里叶变换前分别先对输入乘
$(-1)^{x+y}$ ，即正变换为
$F(u,v)=\sum_{x=0}^M\sum_{y=0}^Nf(x,y)(-1)^{x+y}e^{-2i\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})}$ ，反变换为
$f(x,y)=\frac{1}{MN}\sum_{u=0}^M\sum_{v=0}^NF(u,v)(-1)^{u+v}e^{2i\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})}$ cufft的反变换没有除以MN，即
$f(x,y)=\sum_{u=0}^M\sum_{v=0}^NF(u,v)e^{2i\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})}$ ，为了保证变换前后的一致性，我们需要手动让变换结果除以MN在每次执行完cufftExecC2C使用cudaDeviceSynchronize()函数进行同步在编译时需要加上cufft链接库-lcufft，同时我还用了opencv，因此完整的nvcc编译命令为　　3. 程序实现　　4. 结果展示　　这里只做了低通滤波，可以用类似的方式实现高通滤波，斜坡滤波等一系列频域滤波器。下面展示用第1部分图示的三个滤波器滤波后的结果。

原图

理想滤波器

高斯滤波器

巴特沃斯滤波器

二阶低通滤波器算法_二阶低通滤波器计算

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