【数据结构】哈夫曼树及哈夫曼编码实现 1. 哈夫曼树 1.1 基本概念 路径：指从根结点到该结点的分支序列。 路径长度：指根结点到该结点所经过的分支数目。 结点的带权路径长度：从树根到某一结点的路径长度与该结点的权的乘积。 树的带权路径长度(WPL)：树中从根到所有叶子结点的各个带权路径长度之和。 哈夫曼树是由 n 个带权叶子结点构成的所有二叉树中带权路径长度最短的二叉树，又称最优二叉树。如图中第三棵树就是一棵哈夫曼树。 
1.2 构造哈夫曼树 构造哈夫曼树的算法步骤： ① 初始化：用给定的 n 个权值{w1,w2,…,wn}构造 n 棵二叉树并构成的森林F={T1,T2,…,Tn}，其中每一棵二叉树Ti（1<=i<=n）都只有一个权值为 wi 的根结点，其左、右子树为空。 ② 找最小树：在森林 F 中选择两棵根结点权值最小的二叉树，作为一棵新二叉树的左、右子树，标记新二叉树的根结点权值为其左、右子树的根结点权值之和。 ③ 删除与加入：从 F 中删除被选中的那两棵二叉树，同时把新构成的二叉树加入到森林 F 中。 ④ 判断：重复②、③操作，直到森林中只含有一棵二叉树为止，此时得到的这棵二叉树就是哈夫曼树。 简单的说就是先选择权小的，所以权小的结点被放置在树的较深层，而权较大的离根较近，这样一来所构成的哈夫曼树就具有最小带权路径长度。 例如给定5个权值{2，3，5，7，8}，构造过程如下： 
注意：由于未规定左右子树顺序，因此哈夫曼树不唯一，但树的最小带权路径长度唯一。如下图两棵树都是根据5个权值{2，3，5，7，8}构造的哈夫曼树： 1.3 哈夫曼树的类型定义 哈夫曼树是一种二叉树，其中没有度为1的结点，因此一棵有 n 个叶子的哈夫曼树共有 2n-1 个结点，可以用一个大小为 2n-1 的一维数组来存放哈夫曼树的各个结点。由于每个结点同时还包含其双亲信息和孩子结点的信息，所以构成一个静态三叉链表。 
1.4 哈夫曼树创建的算法实现 基于上文中的构造哈夫曼树的步骤，代码如下： 2. 哈夫曼编码实现 2.1 哈夫曼编码 对一棵具有n个叶子结点的哈夫曼树，若对树中的每个左分支赋0，右分支赋1（或左1右0），则从根到每个叶子的通路上，各个分支的赋值分别构成一个二进制串，该二进制串就称为哈夫曼编码。哈夫曼编码是最优前缀编码，能使各种报文对应的二进制串的平均长度最短。 例如要传送数据“state,seat,act,tea,cat,set,a,eat”，先统计各个字符出现的次数： 字符 c s e a t 字符出现的次数 2 3 5 7 8 将出现次数当作权构造哈夫曼树，并按左0右1规则对分支赋值： 
则各字符的哈夫曼编码为： 字符 c s e a t 字符出现的次数 2 3 5 7 8 哈夫曼编码 010 011 00 10 11 可以看出使用频率越高的字符编码长度越短。
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