线性代数之——相似矩阵 当
有足够的特征向量的时候，我们有。在这部分， 仍然是最好的选择，但现在我们允许任意可逆矩阵，矩阵 和 称为相似矩阵，并且不管选择哪个，特征值都保持不变。 1. 相似矩阵 假设 是任意的可逆矩阵，那么 相似于矩阵。 也就是说如果 相似于，那么 也相似于。如果 可以对角化，那么 相似于，它们肯定具有相同的特征值。 相似的矩阵 和 具有相同的特征值，如果 是 的一个特征向量，那么 是 的特征向量。 
所有具有特征值 1 和 0 的 2×2 矩阵都是相似的，特征向量会随着 而改变，但特征值不变。上面的例子中特征值是不重复的，这种情况很好办，但如果有重复的特征值就会比较困难了。
这些 都和 一样行列式为 0，秩为 1，一个特征值为 0，并且矩阵的迹为 0，所以另一个特征值也为 0。但零矩阵不和它们相似，因为只有零矩阵自己和自己相似。 从 到，有一些东西会改变一些则不变。
相似矩阵的特征值不变，矩阵的迹为特征值的和也不变，矩阵的行列式为特征值的乘积也不变，矩阵的秩不变，针对每个特征值的特征向量数目不变。 2. 若尔当形（Jordan Form） 
上面的矩阵有三个特征值 5,5,5 在它的对角线上，唯一的特征向量是 (1, 0, 0) 的倍数，代数重数为 3，几何重数为 1。每个和它相似的矩阵 都有三重特征值 5,5,5， 的秩也为 2，零空间的维度为 1。和这个若尔当块 相似的矩阵都只有一个不相关的特征向量。 此外， 和 相似，并且此时的矩阵 正好是反恒等矩阵。
由于 是我们能得到的最接近于对角矩阵的形式，方程 不能再进一步被简化，我们必须直接利用回带法解决。
对于每个，我们想要选择一个 来使得 尽可能接近对角形式。当 有 个特征向量的时候，它们成为 的列，然后， 是对角矩阵。在一般情况下，特征向量会缺失，我们并不能完全对角化。假设 有 个不相关的特征向量，那么它相似于一个有 个块的矩阵，每个块都像上面的矩阵 一样，特征值位于对角线上，并且素 1 正好位于对角线上面，其中每个块对应于一个特征值。如果有 个特征向量 个块，那所有的块都是 1×1 的， 也就变成了。
相似于 如果它们具有相同的若尔当形，其它情况都不符合。 对于每一个相似矩阵族，我们挑选出一个最特别的成员称为，这个族中其它的每个矩阵都可以表示为。这时候，我们有，因此我们依然可以用 来求解。 相似性的核心在于——让矩阵变得尽可能简单但同时保留它的必要属性。
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