matlab矩阵调换行与列_matlab rank函数

mathematica学习笔记-CARSZBL 　　题目加个后缀仅为方便自己搜索。 　　1. 基础知识 　　Enter键换行输入； 　　Shift+Enter：执行光标所在单代码； 　　mathematica自定义函数都是大写字母开头，以驼峰式命名，且自变量用中括号包围，比如Sin[x]，Cos[x],MatrixForm[x]。 　　:= 表示延时赋值 　　alt+. 停止计算 　　1.1 清除所有变量：ClearAll 　　1.2 注释:(* *) 　　

　　1.3 函数定义：f[x_] 　　lhs:=rhs表示将 rhs 延时赋给 lhs. rhs 保留未计算的形式. 当 lhs 出现时，它用 rhs 替换，并且每次重新计算.

　　还可以给函数分段（但这种分段函数无法用D[f[x],x]求导）： 　　

　　计算函数值： 　　

　　1.4 函数求导或求偏导: D[] 　　

　　土的剑桥模型微分方程 dq/dp+M-q/p=0求解，令u=q/p，结果为M lnp+q/p-C=0，用mathematica求解： 　　

　　1.5 函数求全微分: Dt[] 　　

　　1.6 积分 　　

　　1.7 用来展开表达式expr 中的乘积和正整数幂：Expand[expr] 　　

　　更多： 　　

　　1.8 化简： 　　FullSimplify[expr] 　　在包括初级和特殊函数的 expr 中尝试各种不同的变换，并且返回它所找到的最简形式. 　　

　　化简时可以给出假定： 　　



　　另一个常用化简的函数是Eliminate，意思是消除变量，比如你有6个变量，但只有5个方程，还差一个方程约束，此时可以用1个变量表示出其余5个变量，比如土力学中： 　　

　　结果：

Eliminate消除变量 　　Eliminate求得的结果可以用Solve进一步求解：

Solve解方程 　　1.9 替换:ReplaceAll 或 /. 　　expr/.rules 或 ReplaceAll[expr,rules] 　　应用一个规则或规则列表尽可能转换一个表达式 expr 的每个子部分. 　　ReplaceAll[rules] 　　表示可以应用于表达式的 ReplaceAll 的操作符格式. 　　其中”/.“可以看做ReplaceAll函数的简写。 　　

　　1.10 绘图添加图例 　　

　　1.11 Manipulate动态绘图 　　（1）Manipulate讲解 　　在Mathematica中，`Manipulate`是一个用于创建交互式控件和可视化的函数。它允许用户通过滑块、拖动条、按钮等控件来操作和调整参数，实时观察结果的变化。`Manipulate`函数的基本语法如下： 　　其中，`expr`是要进行操作和可视化的表达式或函数，`controls`是用于控制和调整参数的控件列表。`Manipulate`函数会根据控件的当前值自动更新`expr`的计算结果，并实时显示结果的变化。 　　例如，您可以使用`Manipulate`函数来创建一个滑动条，控制参数`a`的取值，并实时显示`a`的平方值： 　　在这个示例中，滑动条的取值范围是从0到10，当您通过滑动滑块来改变参数`a`的值时，`Manipulate`函数会自动重新计算`a^2`的值，并实时更新显示结果。 　　`Manipulate`函数还可以通过添加更多的控件来创建更复杂的交互界面。您可以使用拖动条、复选框、按钮等控件来调整参数，并根据参数的变化来展示不同的可视化结果。这使得`Manipulate`函数非常有用，特别是在探索数据、调试代码、演示和教学等方面。 　　（2）另一个例子： 　　

激活函数 　　（3）直接写出来LogisticSigmoid函数定义： 　　

　　（4）也可以直接将上面的函数写为函数形式，而不是表达式形式。因为此时函数同时随d和T变化，只不过T在Plot部分改变，而d随Manipulate部分改变： 　　

　　1.12 mathematica基准测试： 　　mathematica会自动运算15个基准测试函数，并给出每个的计算时间和结果，结果会放在一个新建的report中。 　　2. 参数拟合 　　2.1 FindFit非线性拟合（以抛物线函数为例） 　　FindFit[data,expr,pars,vars] 　　求出参数 pars 的数值，使 expr 作为关于 vars 的函数给出对 data 最佳拟合. 　　FindFit[data,{expr,cons},pars,vars] 　　在带参量的约束条件 cons 下，求最佳拟合. 　　简单理解就是：FindFit[数据，函数，参数，变量] 　　只能给出局部最优解，给出的局部最优解有可能是全局最优解 　　

　　2.2 非线性拟合（以级配方程为例） 　　

　　2.3 如果参数有范围或有初值： 　　

　　2.4 NonlinearModelFit 　　nlm = NonlinearModelFit[data, model, parameters, variable]; 　　NonlinearModelFit在 Mathematica 中主要用于数据拟合，并以最小化残差平方和的方式来估计参数。它通常使用局部优化方法，这意味着它可能找到局部最优而不是全局最优解，尤其是当目标函数有多个极值时。 　　

　　2.5 NMinimize全局优化 　　如果你想要寻找一个函数的全局最优解，你可以使用 或 。这两个函数都提供了寻找全局最小值的方法，尽管它们也不能保证总是找到全局最优解，但它们提供了更多与全局优化相关的策略。 　　比 更倾向于全局搜索，因为它包括了一系列全局优化方法，如差分进化（Differential Evolution），模拟退火（Simulated Annealing），以及其他启发式方法。例如： 　　在这个命令中， 是你想要最小化的函数， 是任何约束条件， 是变量，而 指定了使用差分进化算法，它是一个常用于全局优化的方法。 　　在 Mathematica 中，曲线拟合可以通过最小化误差函数来实现。误差函数通常是所有数据点的拟合值与实际值差的平方和。在这个例子中，我们可以使用函数来找到参数，和使得误差函数最小。 　　

NMinimize求全局最小数值解 　　这行代码定义了一个误差函数，它对于数据列表中的每个点，计算模型预测值与实际值之间差的平方，然后将这些平方差加起来得到总误差。这个总误差就是我们在拟合过程中试图最小化的目标函数，上面各句代码含义如下： 是一个函数定义，其中 , , 和 是此函数的参数。在 Mathematica 中，下划线 表示参数的模式匹配，而 , , 和 表示任何传递给 的相应参数都将匹配到 , , 和 . 函数用于计算列表中所有素的总和。 和 是匿名函数（或称为 Pure Function）的一部分。在 Mathematica 中， 表示匿名函数的参数，而 和 是 Part 的简写形式，分别表示列表中第二个素和第一个素。因此， 表示当前输入列表的第二个素， 表示第一个素。 调用了之前定义的模型函数 ，其中 代表列表中的 值。 计算实际的 y 值（从数据的第二个素中获得）与模型预测的 y 值（通过调用 函数）之差的平方。 将前面的表达式转换成一个匿名函数。在 Mathematica 中，匿名函数允许你定义一个没有名字的简短函数， 是定义匿名函数的结束符号。 是 函数的简写形式，它将一个函数应用于列表中的每个素。在这个表达式中，它将匿名函数 应用于 列表中的每个子列表（即每个数据点）。 　　上面代码使用的差分进化算法的自动参数设定，如果没有找到合理的解，可以尝试对差分进化算法作更详细的设定： 　　

差分进化算法全局优化进行曲线拟合 　　2.6 组合优化方法的使用 　　NMinimize还可以使用哪些全局优化算法，请详细给出各算法的具体设定。并分析哪种全局最优算法优化能力最强，哪种优化算法结果最稳定，哪种优化算法速度最快，以以上三种评价标准，哪种优化算法最好？ 　　在 Mathematica 中， 提供了多种全局优化算法，可以通过 选项进行选择和配置。以下是一些可用的全局优化方法及其设定：Differential Evolution ():这种方法对于具有不连续性的问题以及模态函数（即具有多个局部最小值的函数）很有效。mathematicaCopyMethod -> {“DifferentialEvolution”, “ScalingFactor” -> sf, “CrossProbability” -> cp} “` 其中 `sf` 是缩放因子，`cp` 是交叉概率。 Simulated Annealing ():模拟退火是一种概率性算法，对于找到复杂或多峰函数的全局最小值很有用。mathematicaCopyMethod -> {“SimulatedAnnealing”, “InitialTemperature” -> it, “CoolingFactor” -> cf} “` 其中 `it` 是初始温度，`cf` 是冷却因子。 Random Search ():随机搜索方法通过在参数空间内随机采样来寻找最小值，适用于参数空间很大且其他方法不太行得通的情况。mathematicaCopyMethod -> {“RandomSearch”, “SearchPoints” -> sp} “` 其中 `sp` 是初始搜索点的数量。 Nelder-Mead ():这是一种局部优化算法，但有时也可以用在全局优化问题中。它不依赖于梯度信息。mathematicaCopyMethod -> “NelderMead” “` Genetic Algorithm ():遗传算法通过模拟自然选择的过程来解决优化问题，适用于非线性、多模态的优化问题。mathematicaCopyMethod -> {“GeneticAlgorithm”, “PopulationSize” -> ps, “CrossoverFraction” -> cf} “` 其中 `ps` 是种群大小，`cf` 是交叉分数。 Particle Swarm ():粒子群优化是一种基于种群的优化技术，适合连续优化问题。mathematicaCopyMethod -> {“ParticleSwarm”, “InertiaWeight” -> iw, “CognitiveAttraction” -> ca, “SocialAttraction” -> sa} “` 其中 `iw` 是惯性权重，`ca` 是认知吸引力，`sa` 是社会吸引力。 　　关于哪种算法最优，这取决于特定问题的性质和优化目标。以下是一般性的指导：优化能力最强：通常， 或 等基于种群的方法在找到全局最小值方面更为强大，因为它们可以探索参数空间的不同区域，避免局部最小值。结果最稳定：模拟退火 () 和粒子群 () 算法通常能提供较为稳定的结果，因为它们有机制避免过早收敛到局部最小值。速度最快：对于某些问题， 方法可能会提供最快的结果，尤其是在目标函数相对平滑且问题规模较小的情况下。但它可能陷入局部最小值。 　　综合以上三种评价标准，没有单一的最佳算法。通常，实践中会根据问题的具体特性来选择或者尝试几种不同的方法。有些情况下，最好的做法是对问题先进行一些初步分析，然后选择两三种最有可能有效的方法进行尝试。在确定最适合的算法时，应考虑问题的维度、目标函数的平滑性、是否容易计算梯度、是否存在约束条件等因素。进行实际的优化实验后，分析各方法的收敛速度、稳定性和解的质量，然后选择表现最好的那一个。 　　在实际应用中，经常会使用多种方法的组合，例如先使用全局优化方法粗略定位到可能的全局最优区域，然后再用局部优化算法进行精细搜索。这种多阶段优化策略经常能够提供一个不错的折中方案，既能较快地找到可靠的最优解，又能保持算法的稳定性。 　　在 Mathematica 中进行优化时，你也可以自定义优化方法，或者将多种方法组合使用，以达到最佳效果。例如： 　　mathematicaCopyNMinimize[ {f[x, y, z], constraints}, {x, y, z}, Method -> { “RandomSearch”, Method -> { “DifferentialEvolution”, “PostProcess” -> {“NelderMead”} } } ] 　　在这个例子中，我们首先使用 方法进行全局搜索，然后使用 进行精细搜索，最后用 方法对可能的最优解进行局部优化。这种策略结合了不同方法的优点，可能会在实践中提供较好的结果。 　　首先使用方法进行全局搜索，然后使用进行精细搜索，最后用方法对可能的最优解进行局部优化。这种策略结合了不同方法的优点，可能会在实践中提供较好的结果： 　　

组合优化：先用RandomSearch，再用DifferentialEvolution最后用NelderMead 　　注意，这里我故意将a的范围设定取不到1，而不是这个算法无法找到正确的a、b和c值。 　　2.7 常微分方程参数拟合 　　求能将给定数据最佳拟合至范德波尔（Van der Pol）方程的参数 \[Mu]. 　　



　　下面创建一个 ParametricFunction 对象并在 FindFit 中使用： 　　

　　3. 求根 　　3.1 牛顿迭代法（自编函数形式） 　　

　　4. 在泛函求解中的应用 　　4.1 Ritz 法





　　mathematica求解： 　　

　　

　　可见，与文中求解结果一致。 　　



　　用mathematica求解上述过程： 　　

　　

　　

　　绘图： 　　

　　5. 在线使用 　　Wolfram|Alpha: Computational Intelligence (wolframalpha.com)