在分析加法减法微分积分运算电路时_微分电路和积分电路

微分方程　　定义：微分方程是一种描述自变量和它的导数之间关系的方程，其中自变量通常是时间或空间。　　常见类型的微分方程包括：一阶线性微分方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)为已知函数。二阶齐次线性微分方程：y”(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0，其中p(x)和q（x）为已知函数。可降解成可分离变量形式的一阶微分方程：dy/dx = f(y)x 或 dx/dy = g(y)x，其中f(y) 和g（y）为已知函数，并且可以将未知函数 y 的所有项移到一个侧面进行积分。指数型增长或衰减的一阶非齐次线性微分方程：dy/dt + ky(t)=a e^(kt)，其中k, a 是实数参数。
$可分离变量的微分方程是指可以写成以下形式的微分方程： \frac{dy}{dx}=f(x)g(y) 其中 f(x) 和 g(y) 是只与 x 或 y 有关的函数。这种形式的微分方程可以通过变量分离法来求解，具体步骤如下：将方程变形为 \frac{1}{g(y)}\frac{dy}{dx}=f(x) 的形式。对两边同时积分，得到 \int \frac{1}{g(y)}dy = \int f(x) dx + C。解出上式中的常数 C，得到特解。需要注意的是，在第二步积分时要考虑到函数 g(y) 在不同区间内可能会有不同符号或取值范围限制等问题。$ 　　线性微分方程；
$线性微分方程是指具有如下形式的微分方程： \frac{d^n}{dx^n}y+a_{n-1}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}y+\cdots+a_1\frac{d}{dx}y+a_0y=f(x) 其中 a_i 和 f(x) 都是已知函数，y是待求函数。线性微分方程的解可以通过以下步骤得到： Step 1：先求出对应的齐次线性微分方程的通解。即令 f(x)=0得到$ 　　
$\frac{d^n}{dx^n} y + a_{n-1}\frac {d^{n-1}} {dx^{n-1}} y + \cdots + a_0 y = 0 这个方程称为原线性微分方程对应的齐次线性微分方程。其一般解为： y_h=c_1 y_1+c_2 y_2+ \dots +c_n y_n 其中 c_i 是任意常数，而 y_i (i= 1,2,\dots,n)则是原齐次线性微分方程的n个不同解。 Step 2：然后求特殊积分并构造一个特殊解来代替f(x) ，使得该特殊积和上述通法之和等于原问题中f(x) 的一般表达式。如果将上述两步结合起来，则可获得原问题的通解： y = y_h + y_p 其中 y_h 是齐次方程的通解，而 y_p 是非齐次线性微分方程的一个特殊解。$ 　　可以化为齐次分式的微分方程；　　dy/dx=f（y/x）类型微分方程及解法　　令u=y/x，则有y=ux和dy/dx=u+x*du/dx将上述式子带入原微分方程中得到：u+x*du/dx=f(u)，整理后得到dx/(f(u)-u)*x=du 　　有dx/x=du/(f(u)-u)),两边积分，即可求解；　　一阶非齐次微分方程　　
$一阶非齐次微分方程的一般形式为\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x),其中P(x)，Q(x)都是已知函数。这种类型的微分方程可以通过以下几个步骤来求解。 1. 首先考虑该微分方程的对应齐次方程，即\frac{dy}{dx}+P(x)y=0. 根据一阶线性常系数微分方程的通解公式，其通解可以表示为 y_c = Ce^{-\int P(x) dx}, 其中C是任意常数。 2. 接下来考虑原始非齐次方程右侧的项Q(x)。观察发现它可能与\frac{d}{dx}(Ce^{-\int P(x) dx}) 有关联，因此尝试设一个特殊解 y_p=u_1(x)+u_2 (x)e^{\int P( x )dx}+\cdots + u_n( x ) e^{n \int P( x ) dx }. 其中n是待定系数法所需确定的正整数, u_1, u_2,\ldots,u_n 均为待定函数，并且要求满足f( x )- y'_p - p ( x ) y_p = 0.$ 　　
$假设特殊解具有如下形式： y_p=u_1 (x)+u_2 (x) e^{\int P( x )dx}. 将y_p带入原方程中，并通过求导得到\frac{du_1}{dx}+P(x)u_1=0,\quad \frac{du_2}{dx}+P(x)u_2=\frac{Q(x)}{{\rm exp}\left(\int P(x){\rm d}x \right)}.对第一个式子进行变形，可得u_1=C {\rm exp}\left(-\int P(x){\rm d}x \right),其中C是任意常数。$ 　　
$经推导，特解为 y_p=C_{1}{e^{ - * }}+ C{2}* e^{\int p（x）dx}=v{x}* e^{-∫p（x）dx}.$ 　　
$最终通解为齐次通解加上特解，即y=y_c+y_p=Ce^{-\int P(x){\rm d}x}+u_1(x)+u_2(x)e^{\int P(x){\rm d}x},其中C, u_1和u_2是待定常数或函数。$ 　　二阶齐次微分方程
0)时，则通解可以表示成如下形式: y = e^{\alpha x}(c_{11}\cos \beta x + c_{12}\sin\beta x), 其中c_{11},c_{12}为常数。” eeimg=”1″> 　　二阶非齐次微分方程　　一般形式的二阶非齐次常系数微分方程可以写成：y”+ay’+by=f(x)其中，a,b为常数，f(x)为已知函数。下面介绍一般形式的二阶非齐次常系数微分方程求解过程。先求出对应齐次方程的通解。对于二阶线性常系数齐次微分方程 y”+ay’+by=0，其特征方程为：r^2+ar+b=0 解得该方程的两个根：
$r_1,r_2后，可得到齐次方程的通解： y_c=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$
$如果特征根是实数，则上式中c_{1}和c_{2}是任意常数；如果特征根是共轭复根\alpha \pm i\beta (\alpha,\beta \in R)$, 则上式中c_{1}和c_{2}都要改写成如下形式：c_i = A e^{\alpha x}\cos(\beta x)+B e^{\alpha x}\sin(\beta x),i=1, 2. 注意，当a=b=0时，我们将这个微分方程称作“简谐振动”问题（或叫做“单摆”问题），此时有无穷多组满足初值条件的解析式。$ 　　2：特解形式怎么猜：
$对于二阶齐次常系数微分方程ay''+by'+cy=0，特解的形式可以根据不同情况来确定。情况一：当f(x)为\mathrm{e}^{mx}型时，特解取m\mathrm{e}^{mx}形式。$ 　　
$情况二：当f(x)为三角函数\sin(nx)或\cos(nx)型时，特解取a\sin(nx)+b\cos(nx)形式。$ 　　
$情况三：当f(x)为多项式P_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0型时：$
$① 若特征方程有n个互异实根，则特解取(A_n x^n+A_{n-1}x^{n-1}+\cdots + A_0)P_n(x)形式； ② 若存在k<n个互异实根和t=n-k对共轭复根，则通解中包含x^ke^{\alpha x}(B_k \cos \beta x + C_k \sin \beta x)+ P_t (x)(D_te^{\mu tx}) 其中\alpha,\beta,\mu,D_i,B_i,C_i(i=1,2,...,k,t).$ 　　
$情况四：当f(x)是指数函数或正弦/余弦与指数函数的乘积时，则可采用待定系数法。具体地，我们设定关于x的多项式y_p(x)，代入原方程中，求解待定系数即可。注：以上四种情况并不是齐次常系数微分非线性方程的全部特解形式。在一些特殊情况下，如f(x)为\ln x,x^{\pm n}(n \in \mathbb{N})型时，则需要采用其他方法求解其特解。$ 　　变系数二阶齐次微分方程
　　
　　
$3.将特解代入原非齐次方程，并利用常规技巧进行化简、整理得到： u_1'(x)=\frac{f(x)}{W(y_1,y _2)}, u _ 2 ' ( x ) = - \frac { f ( x ) } { W ( y _ 1 , y _ 2 ) } 其中 W(y _ 1 , y _ 2) 表示 y_{\rm l}, y_{\rm z} 的朗斯基行列式。$ 　　
　　
$5.由此可以推导出该二阶线性微分方程的通解: y=y_c+y_p=c_1y_{l}+c_y {_z} + u{_t}(x), ~ u{_t}(x) = u_1(x)y_1+u _ 2 ( x ) y_2 . 需要注意的是，当f(x)为多项式函数、指数函数、三角函数等简单的初等函数时，常数变易法比较适用；当f(x)为复杂的特殊函数时，则通常需要采用其他方法进行求解。$ 　　补充
$对于一个n实值可微函数f(x1,x2,...,xn)，定义其朗斯基行列式为： ∆=det[\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i},\partial x_{j}}] 其中1≤i,j≤n。$

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