1. 激活谷首页
  2. 激活谷笔记

移位运算符的含义_二目运算符

• 激活谷笔记

移位运算符的含义_二目运算符音集向位运算理论基础定义0-1. 音集的表示法把十二律下一个八度内的12个音分别对应数字0～11，可得：不论其音名为何，是否可以标记为等音，都按此对应方法。例如， 、、 ，都是对应“ ”。不同八度内的同一个键位，对应数字也一视同仁。例如

音集向位运算理论基础 　　定义0-1. 音集的表示法 　　把十二律下一个八度内的12个音分别对应数字0～11，可得：
移位运算符的含义_二目运算符
移位运算符的含义_二目运算符 　　不论其音名为何，是否可以标记为等音，都按此对应方法。例如，
\rm C\sharp 、
\rm D\flat、
\rm B\sharp\sharp ，都是对应“
1 ”。 　　不同八度内的同一个键位，对应数字也一视同仁。例如“
\rm C ”跟高八度的“
\rm C”、低八度的“
\rm C”，都是对应“
移位运算符的含义_二目运算符0 ”。 　　以此，我们可以用音集的形式表示出十二律内的任一个和弦。
移位运算符的含义_二目运算符
移位运算符的含义_二目运算符 　　→
\left[\begin{array}{c} 4\\7\\0 \end{array}\right] ，
\left[\begin{array}{c} 5\\9\\0 \end{array}\right] ，
\left[\begin{array}{c} 4\\9\\7\\1 \end{array}\right] ，
\left[\begin{array}{c} 8\\6\\0\\2 \end{array}\right]，
\left[\begin{array}{c} 8\\3\\11\\5 \end{array}\right] 　　每个音对应了键位上的一个数字编号，从下到上（从左到右）书写，包含在方括号内。 　　这样的书写方式很像数学中的一维“矩阵”（matrix），然而需注意音集并非矩阵而是一种集合（set），有些矩阵性质并不适用于音集。 　　用横写表示音集时，数字
10 简写为
\rm t （英文 ten 的缩写）；数字
11 简写为
\rm e （英文 eleven 的缩写）。于是以上这些音集也可以写成： 　　
[074] ，
[095] ，
[1794] ，
[2068] ，
[5\rm e 38] 。（注意
[5\rm e38] 中已与用
\rm e 简写代替了数字
11 。） 　　音集原来是竖写的，然而为了节省印刷空间，如今多用横写。 　　定义0-2. 运用五度圈的音集表示法（圆括号音集） 　　音程的纯五跨度（跨度）是指一个音程的两音在五度圈图上的距离。除了使用键位对应数字0～11外，还可用音集内各音的音名与五度圈图上以C音为起始的位置对应，这样可以把音集中表示为数字
-15 到
19 ：
移位运算符的含义_二目运算符
移位运算符的含义_二目运算符 　　约定俗成地，用这种方式对应表示的音集用圆括号（小括号）。 　　同样用以上和弦作为例子：
移位运算符的含义_二目运算符
移位运算符的含义_二目运算符 　　→
\left(\begin{array}{c} 4\\1\\0 \end{array}\right) ，
\left(\begin{array}{c} -1\\3\\0 \end{array}\right) ，
\left(\begin{array}{c} 4\\3\\1\\7 \end{array}\right) ，
\left(\begin{array}{c} -4\\6\\0\\2 \end{array}\right)，
\left(\begin{array}{c} 8\\9\\-1\\5 \end{array}\right) 　　（快速反应的方法：这一对应方式可以想以该音为主音的大调的调号，升号调对应正数，降号调对应负数。如，A音→A大调→3个升号→
3 ；F音→F大调→1个降号→
-1 ，等等。） 　　圆括号音集如今也大多横写。简写方式为：负号写在数字上方，如“
-1 ”写作“
\overline 1 ”等；数字10～19分别简写为字母
\rm a ～
\rm j ：
10 \rightarrow \rm a, \, 11 \rightarrow \rm b, \, 12 \rightarrow \rm c, \, 13 \rightarrow \rm d, \, 14 \rightarrow \rm e, \, 15 \rightarrow \rm f, \, 16 \rightarrow \rm g, \, 17 \rightarrow \rm h, \, 18 \rightarrow \rm i, \, 19 \rightarrow \rm j. 　　于是以上这些圆括号音集也可以写成： 　　
(014) ，
(03\overline 1) ，
(7134) ，
(206 \overline 4) ，
(5 \overline 1 9 8) 　　圆括号音集（五度圈位置音集）表示法考虑了等音的情况，故此为兼容其它律制留下了空间。 　　定义0-3. 圆括号音集与方括号音集的互转 　　圆括号音集与方括号音集之间可以互转。然而，由于方括号音集不考虑等音，一个方括号音集往往对应多个圆括号音集，而一个圆括号音集只能对应唯一的一个方括号音集。 　　例如： 　　
(0123)=\left\{ \rm C, G, D, A \right\} = [0729] ，只有唯一的对应关系；而 　　
[0123]=\left\{ \rm B\sharp/C/D\flat\flat, \,F\sharp\sharp/G/A\flat\flat, \,C\sharp\sharp/D/E\flat\flat, \,G\sharp\sharp/A/B\flat\flat\right\} = (\rm c/0/\overline c \,\, b/1/\overline d \,\, a/2/\overline e \,\, 9/3/\overline f) 　　需要取用哪个数字做转换的结果，需根据音乐调性或倾向性的的具体情况行具体确定。 　　练习0. 　　请用方括号音集（键位音集）和圆括号音集（五度圈音集）分别表示出下列5个和弦。
移位运算符的含义_二目运算符
移位运算符的含义_二目运算符 　　答案： 　　
\rm [0e9] ，
\rm [270] ，
\rm [15b492] ，
\rm [23e68] ，
\rm [024579b1] ； 　　
(053) ，
(240) ，
(7\overline 1 \overline 2 4 3 2) ，
(2\overline3568) ，
(024\overline 11357) 。 　　定义1-1. 音集的移位（加法） 　　就如乐曲可以“移调”那样， 音集可以“移位”，即做“加法”。 　　给出任意音集
A 与移位的距离
k ，可以定义： 　　
A_k = A + k 。移位距离
k 可以写作下标变量。 　　其中的“加法”满足“模12”运算：
a + b = (a+b) \,\, \rm mod \,\,12 \,. 　　例如： 　　
[0123] + 4 = [4567] ，可简记为：
[0123]_4 = [4567] 。 　　同样地：
\rm [05e]_1 = [160] ，
\rm [9te]_6 = [345] 。（注意：由于这是个“模12运算”，一般
1\leq k \leq 11 ） 　　对圆括号音集的运算方法和表示形式均相同，只是得出的音集为圆括号音集。以下内容全部以方括号音集的运算演示，对圆括号音集的情况，读者可自行推广之，后不再赘。 　　定义1-2. 向位集 　　给一个音集的所有音都加上同一个音程，称为“移位”；而对加上的这些音程作个别规定，则称为加上一个“向位集”。即，定义一个音集
A 和一个“向位集”
\boldsymbol{v} ，可有以下运算： 　　
\left[\begin{array}{c} a_i \\ \vdots \\ a_2 \\ a_1 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} v_i \\ \vdots \\ v_2 \\ v_1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} a_i + v_i \\ \vdots \\ a_2 + v_2 \\ a_1+v_1 \end{array}\right] 　　向位集的素数目（音数）必须与被加的音集相同。 　　例如： 　　
\left[\begin{array}{c} 9 \\ 7 \\4 \\0 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} 1 \\ -1\\ 0 \\1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 10 \\6 \\4 \\1 \end{array}\right] 　　（注意：所有的音集数字运算皆为“模12”运算，满足
a + b = (a+b) \,\, \rm mod \,\,12 的法则，后不再赘。） 　　音集的整体“移位”可以看做“向位集”运算的一种特例，如： 　　
[0123]_4 = [0123] + 4 = [4567] ， 　　实际与 　　
[0123] + [4444] = [4567] 　　相等价。因此，对“整体移位”，可以视作等效于加上一个与被加音集素相同、素全为
k 的向位集。 　　定义1-3. 向位集的叠加运算 　　在一个音集上叠加一个向位集，可以增加这个音集的音数——这操作就跟“叠罗汉”一样。向位集的叠加运算用符号
\boxplus 表示： 　　
\left[\begin{array}{c} a_i \\ \vdots \\ a_2 \\ a_1 \end{array}\right] \boxplus \left[\begin{array}{c} v_j \\ \vdots \\ v_2 \\ v_1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} a_i + v_1+v_2+\cdots +v_j \\ \vdots \\ a_i + v_1 + v_2 \\ a_i+v_1 \\ a_i \\ \vdots \ \\ a_2 \\ a_1 \end{array}\right] 　　叠加运算的向位集的音数不一定需与被加的音集相同。 　　例如： 　　
\left[\begin{array}{c} 7 \\4 \\0 \end{array}\right] \boxplus \left[\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 10 \\ 9 \\8 \\ 7 \\4 \\0 \end{array}\right] 　　这种运算与矩阵中的“克罗内克积”（Kronecker product）存在某种联系——感谢 @归航return 的提示。 　　练习1. 　　请写出下列运算的结果： 　　（1）
[0369]_4 = \,\, ? 　　（2）
\rm [0369] + [\overline 12 \overline 34] = \,\,? 　　（3）
[0369] \,\, \boxplus \,\,[29] = \,\,? 　　答案： 　　（1）
\rm [47t1] ；（2）
\rm [e531] ；（3）
\rm [0369e8] 。 　　定义2-1. 关于音集的无序性的讨论 　　音集理论的灵感取自于数学的“集合”概念。然而，由于音乐中的实际运用往往与严格的数学有差距，关于音集是否也需严格遵循数学集合的一些性质，需要分实际应用情况进行讨论。 　　数学集合具有无序性，放到音集中，就如：
[0123] 、
[3210] 、
[1302] …… 实际应该代表的都是同一个音集，应该以它们数字的依次从小到大排列为准，即默认它们都等价于
[0123] 。然而，在实际音乐应用中，由于和弦的音区排列、音出现的次序等也对整体音响效果产生影响，故可以认为音集实际上并不遵循无序性。但是，在运用音集作为分析和创作工具时，为了运算上的简便和简洁性，往往默认音集遵循无序性。 　　定义2-2. 等效向位集 　　由以上的默认规定，我们认定一个音集的数字必须是从小到大依次排列的，遇到不是从小到大排列的情况，则以从小到大排列为准。这样，一些向位集运算就受到了影响： 　　
\left[\begin{array}{c} 3 \\2\\1\\0 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} -1\\1\\-1\\1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 2\\3\\0\\1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 3 \\2\\1\\0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 3 \\2\\1\\0 \end{array}\right] + \boldsymbol 0 . 　　而上式的运算结果
[1023] ，如果默认音集遵守无序性，则它实际上等价于
[0123] 。这样，就出现了这样一种向位集，运算的结果仅仅改变了原音集中的素顺序，并未对齐“实质”产生影响。上式中的
[1 \overline 1 1 \overline 1 ] ，就是这样一种向位集，它在这个运算中等效于
\boldsymbol 0 。这里，我们可以定义：对音集
[0123] ，向位集
[1 \overline 1 1 \overline 1 ] 等效于 向位集
\boldsymbol 0，可以用符号“＠”记作： 　　
[\overline 11\overline 1 1] \,\,@ \,\, [0123] = \boldsymbol 0. 　　同样地，我们还可以发现很多别的等效向位集。例如，从： 　　
\left[\begin{array}{c} 9\\5\\4\\0 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} 0\\-1\\2\\0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 9\\4\\6\\0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 9\\6\\4\\0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 9\\5\\4\\0 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} 0\\1\\0\\0 \end{array}\right] 　　我们可以发现： 　　
[0 2 \overline 1 0] \,\,@ \,\, [0459] = [0010]. 　　注意：等效集仅对特定的目标音集成立。有的音集并不存在等效集，因此，有的“＠运算”并没有结果，可用空集
\emptyset 或“
\rm nil ”表示其结果。例如： 　　
[0 2 \overline 1 0] \,\,@ \,\, [0289] = \emptyset. 　　（因为：
[0289] + [02\overline 10] = [0379] ，结果音集符合无序性，故没有产生等效向位集。） 　　定义2-3. 音集的互异性与声部增减 　　关于音集内素的互异性的讨论与无序性稍微不同——在向位集中，允许出现重复的素（音程）；但是，音集中不允许出现重复的素（音高）。虽然在实际音乐应用中，不同声部的音符呈同度重合或八度重复也多见，但为了运算的简便和形式的简洁，重复的素是不得重复记写的。例如： 　　
\left[\begin{array}{c} 11\\7\\4\\0 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} 1\\0\\0\\0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 12\\7\\4\\0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 0\\7\\4\\0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 7\\4\\0 \end{array}\right] 　　此例中，向位集
[0001] 重复了三个
移位运算符的含义_二目运算符0 ，但这是被允许的；而音集
[0470] 则必须去除重复，记为
[047] 。在此也可以发现，某些向位集运算能使结果出现重复的音而减少了音集的音数，以声部论，即“减少了声部数量”。 　　声部数量能通过运算减少，那么也可以通过运算增加。具体只需运用叠加运算符“
\boxplus ”即可，例如： 　　
[0] \, \boxplus \, [123] = [0123] （1个声部→4个声部）； 　　
[123] \, \boxplus \, [6] = [1239] （3个声部→4个声部），等等。 　　还需注意：增加声部后，结果音集仍需遵守集合的无序性与互异性。例如： 　　
\left[\begin{array}{c} 3\\2\\1 \end{array}\right] \boxplus \left[\begin{array}{c} 5\\4 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 12\\7\\3\\2\\1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 0\\7\\2\\3\\1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 7\\3\\2\\1\\0 \end{array}\right] 　　
[12370] 不是最终结果，
[01237] 才是。 　　定义2-4. 音集的原始型 　　让音集遵守无序性会给向位集运算带来一定的混乱。例如： 　　
\left[\begin{array}{c} 1\\10\\5\\8 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} 1\\1\\0\\-1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 2\\11\\5\\7 \end{array}\right] 　　和 　　
\left[\begin{array}{c} 10\\8\\5\\1 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} 1\\-1\\0\\1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 11\\7\\5\\2 \end{array}\right] 　　如果遵循无序性，则它们的意义完全相同，然而在实际运用中意义却又不同，由此产生混乱。 　　为了避免这种混乱，在向位集运算中，常常需要把原音集转化为以“
移位运算符的含义_二目运算符0 ”开头（即“置零”），以此为基准，称为音集的“原始型”。在运算式中，运算的结果以“原始型”的移位来表示。例如： 　　
\left[\begin{array}{c} 9\\7\\4\\0 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} 1\\-1\\0\\1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 10\\6\\4\\1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 9\\5\\3\\0 \end{array}\right]_1 ； 　　
\left[\begin{array}{c} 9\\7\\4\\0 \end{array}\right]_1 + \left[\begin{array}{c} 1\\-1\\0\\1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 9\\5\\3\\0 \end{array}\right]_2，等等。 　　练习2. 　　（1）写出一个等效向位集的例子。 　　（2a）写出一个用向位集运算减少音集音数（声部数）的例子。 　　（2b）写出一个用向位集叠加运算增加音集音数（声部数）的例子。 　　（3）用“原始型”的移位的形式写出音集
\rm [189te] 和
\rm [52e3t] 。 　　答案： 　　（1）~（2b）. 略。 （3）
\rm [0789t]_1 ；
\rm [01389]_2 。 　　定义3-1. 音集的向位自加与倍乘 　　一个音集加上与它自身相等的向位集即为自加，多次自加即为倍乘，简写与数学写法一致： 　　
[0123] + [0123] = [0246] = 2\,[0123] ； 　　
[0123] + [0123] + [0123] = [0369] = 3\,[0123] ，等等。 　　由定义2-3中呈现的现象，倍乘也可引发声部消去的现象，如： 　　
4\,[0123] = [0480] = [048] ； 　　
2\,[0369] = [0606] = [06] ，等等。 　　而发生声部消去后，自加再不能满足对向位集加法的定义（因为素数量并不相等），故在此基础上再进行倍乘将无意义。例如： 　　
5 \,[0123] = 4\,[0123] + [0123] = [048] + [0123] ，无意义。 　　因此，
5\,[0123] = \rm nil. 　　定义3-2. 音集的自差 　　取一个音集自身各素数值的差，即为音集的自差。对一个音集
A ，可以定义其自差为： 　　
d(A) = \left[\begin{array}{c} a_i - a_{i-1}\\\vdots\\a_3 -a_2\\a_2 - a_1 \end{array}\right] 。 　　具体例如：
d \left(\left[\begin{array}{c} 8\\7\\5\\4\\1 \end{array}\right]\right) = \left[\begin{array}{c} 8-7\\7-5\\5-4\\4-1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 1\\2\\1\\3 \end{array}\right]\rm , \,\,or:\left[\begin{array}{c} 3\\2\\1 \end{array}\right] 。 　　作自差运算后，可以保留其原有的顺序和重复，也可以集合的无序性和互异性重新整理为一个新的音集。如何选择，取决于需要运用自差运算达到什么目的或效果。 　　定义3-3. 往向位集运算中引入音集数字的乘法 　　在定义1-1中定义了音集数字的加法：
a + b = (a+b) \,\, \rm mod \,\,12 \,. 　　这里也可以定义音集数字的乘法：
a \times b = ab \,\, \rm mod \,\,12 \,. 　　由此也可定义音集的向位集乘法运算： 　　
A\times\boldsymbol v = \left[\begin{array}{c} a_i \\ \vdots \\ a_2 \\ a_1 \end{array}\right] \times \left[\begin{array}{c} v_i \\ \vdots \\ v_2 \\ v_1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} a_i v_i \\ \vdots \\ a_2v_2 \\ a_1v_1 \end{array}\right] ； 　　
A\times k = \left[\begin{array}{c} a_i \\ \vdots \\ a_2 \\ a_1 \end{array}\right] \times \left[\begin{array}{c} k\\\vdots \\k\\k \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} a_i k \\ \vdots \\ a_2k \\ a_1k \end{array}\right] 。 　　具体例如： 　　
[0123] \times [1234] = [0260] = [026] ； 　　
[0123] \times [0123] = [0149] （也可用与数学一致的形式简记为：
[0123]^2 = [0149] ）； 　　
[0123] \times \boldsymbol 4 = [0480] = [048] ，等等。 　　引入音集数字的乘法的向位集运算同样会出现声部消去现象，这属于正常现象。 　　这种运算与矩阵中的“逐项积”（Hadamard product）类似——感谢 @归航return 的提示。 　　定义3-4. 复合运算 　　与数学中一样，音集与向位集也支持复合运算；运算顺序与运算律与数学中一致。 　　例如： 　　
d((2\,[0123]^2 \boxplus [7])_3) +[0 2 \overline 1 0] \,\,@ \,\, [0459] \\ = d((2\, [0149] \boxplus [7])_3) + [0 2 \overline 1 0] \,\,@ \,\, [0459] \\ = d(([0268] \boxplus [7])_3) + [0 2 \overline 1 0] \,\,@ \,\, [0459] \\ = d(([02368])_3) + [0 2 \overline 1 0] \,\,@ \,\, [0459] \\ = d(\rm[3569e]) + [0 2 \overline 1 0] \,\,@ \,\, [0459] \\ = [2132] + [0 2 \overline 1 0] \,\,@ \,\, [0459] \\ = [2132] + [0010]\\ = [2142] \\= [124] \, . 　　习题3. 　　请写出下列运算的结果： 　　（1）
4\,[0369] = \,\, ? 　　（2）
[0369]^4 = \,\, ? 　　（3）
([\overline 11\overline 1 1] \,\,@ \,\, [0123])^9 \times ((2\,[12] \boxplus [23] \times 4)^2)_2 + d([12345]_8)^2 = \,\,? 　　答案： 　　（1）
[0] ；（2）
[09] ；（3）
[149] 。

2024最新激活全家桶教程，稳定运行到2099年，请移步至置顶文章：https://sigusoft.com/99576.html

版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容， 请联系我们举报，一经查实，本站将立刻删除。 文章由激活谷谷主-小谷整理,转载请注明出处：https://sigusoft.com/50551.html

赞 (0)
0
上一篇 2024年 9月 3日 上午11:42
下一篇 2024年 9月 3日 上午11:47

相关推荐

关注微信