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fft 计算_FFT原理通俗易懂

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fft 计算_FFT原理通俗易懂FFT具体实现原理（FFT硬件结构）前面文章中讲解的FFT基础知识，从傅里叶级数——DFT——FFT的整个推导过程，详细内容参考：仰望星空：FFT/IFFT从理论推导到工程实现本文将正式讲解FFT实现流程（倾

FFT具体实现原理（FFT硬件结构） 　　前面文章中讲解的FFT基础知识，从傅里叶级数——DFT——FFT的整个推导过程，详细内容参考：仰望星空：FFT/IFFT从理论推导到工程实现 　　本文将正式讲解FFT实现流程（倾向于底层硬件的实现），主要包括：算法的简介、蝶形运算单的结构、旋转因子的生成、存储结构（输入数据的存储、中间操作数的存储、旋转因子的存储等）、相关的寻址规律和硬件架构。 　　一、算法的简介 　　输入数据量=输出的数据量。如八点FFT每次输入8个数据，那么对应输出8个数据。输入和输出是倒序关系。这里的倒序指的是二进制的倒序，如下图，输入的顺序为（用前四个数举例）：000、100、010、110（0、4、2、6）那么对应的输出就是000、001、010、011（1、2、3、4）。
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fft 计算_FFT原理通俗易懂图1 　　3. 本次主要讲解DIT的FFT实现原理。 　　二、蝶形运算单的结构 　　通过前面文章中的推导，可以得出实际的每个蝶形运算单的结构：
\begin{aligned} &Y A=X A+W^{*} X B \\ &Y B=X A-W^{*} X B \end{aligned}
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fft 计算_FFT原理通俗易懂图2 　　上面的公式中，XA和XB是输入数据；YA和YB是输出数据。上面的两个公式就构成了一对基2的DIT蝶形结构。 　　具体的硬件单为：
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fft 计算_FFT原理通俗易懂 　　首先XB和W相乘，输出的结构进行加减运算，得出YA和YB。 　　下面针对蝶形运算做几点相关的说明。N点基2FFT要经历的级数M。
M=\log _{2} N 如8点FFT需要3级，如图1所示。N点基2FFT要G个蝶形运算结构。
G=\frac{N}{2} \log _{2} N 如8点基2FFT需要3级，每一级需要8/2=4个蝶形结构，共需要8/2*3=12个。需要经历C个复数乘法运算由基2的蝶形结构来看，每个蝶形运算需要一个复数乘法，所以和蝶形运算单结构数目相同：
C=\frac{N}{2} \log _{2} N 需要经历A个复数乘法运算由基2的蝶形结构来看，每个蝶形运算需要一个加法、一个减法运算，所以是蝶形运算单结构数目的两倍：
A=N*log _{2} N 　　三、旋转因子的生成 　　旋转因子用
W_{N}^{k} 来表示，k的取值是0~N-1，用公式来表示就是 : 　　
W_{N}^{k}=e^{-j 2 \pi k/ N}=cos(2\pi k/N)-jsin(2\pi k/N) 　　我们已知N（FFT的点数），k的取值（0~N-1），我们就可以计算出
W_{N}^{k} 的数值了。 　　下面说明一下蝶形运算单中用到旋转因子和输入XB的乘法运算： 　　设
XB=a+bj ，
XB*W_{N}^{k}=(a+bj)*[cos(2\pi k/N)-jsin(2\pi k/N)] 　　把实部和虚部拆开来计算，化简得： 　　实部：
a*cos(2\pi k/N)+b*sin(2\pi k/N) 　　虚部：
b*cos(2\pi k/N)-a*sin(2\pi k/N 　　单纯从乘法器的数目上来看，计算过程需要四个乘法器，两个加法器，我们可以通过下面的计算方式将乘法器的数目减少到三个，加法器的数目保持两个不变： 　　实部：
(a+b)*cos(2\pi k/N)+b*[sin(2\pi k/N)-cos(2\pi k/N)] 　　虚部：
(a+b)*cos(2\pi k/N)-a*[sin(2\pi k/N)+cos(2\pi k/N)] 　　四、存储结构 　　1. 操作数和中间计算结果的存储 　　
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W_{N}^{0}-W_{N}^{N-1} 全部存储，这样只需要用到哪个直接读取对应位置的地址；对于中等规模的FFT，会选择存储1/4的旋转因子，即存储
W_{N}^{0}-W_{N}^{(N/4-1)} ，其它的3/4只是sin、cos前面的符号有所不同；对于大规模的FFT，达到数十K的规模时，采用旋转因子的压缩算法，具体实现方法： 　　（1） 存储1/4的旋转因子 　　上面部分64点FFT旋转因子的数值（cos、sin），但是只需要存储16个即可，通过读取的旋转因子的不同地址来区分： 　　这样可以节省3/4的存储空间，但是通过一个数据选择器来实现，速度不如直接存储全部的旋转因子。 　　（2）旋转因子的压缩算法 　　
W_{N}^{k}=W_{N}^{(\alpha+\beta)}=W_{N}^{\alpha} * W_{N}^{\beta} （指数函数的运算规则） 　　通过将指数k分解为
\alpha和\beta 两部分之和继而转换为同底数幂相乘的形式 ，如进行32K点的FFT变换，N=256×128，
k=256 \alpha+\beta\
\alpha=0,1, \ldots \ldots, 127 ; \beta=0,1, \ldots \ldots, 255 ，这样可以把32K个所有的旋转因子全部遍历，把k带入，可得： 　　
W_{256 \times 128}^{k}=W_{256 \times 128}^{(256 \alpha+\beta)}=W_{256 \times 128}^{256 \alpha} * W_{256 \times 128}^{\beta}=W_{128}^{\alpha} * W_{256 \times 128}^{\beta} （256和256约分是根据旋转因子的性质），这样操作，只需要存储128+256=384的存储空间，但是需要额外开销复数乘法器，如果我们以16并行度向蝶形运算单输入数据，则需要额外增加16个复数乘法器（复数乘法器的结构和
XB*W_{N}^{k} 的结构相同）。 　　五、相关的寻址规律 　　1. 旋转因子的寻址规律 　　还是用
W_{N}^{k} 来代表FFT的旋转因子，N代表FFT的点数，各级之间的旋转因子并不是完全不同，我们用 P来代表旋转因子的级数（
M=\log _{2} N ，所以P的取值为0~M-1），则旋转因子的个数为
2^M 个，如8点的FFT旋转因子共有
2^3=8 个，则每一级不同的旋转因子个数为：
2^P 个。如基2 8点FFT第一级数只用到
W_8^0 ，第二级用到
W_8^0、W_8^2 （两个不同），第三级
W_8^0-W_8^3 （四个不同），如果用J来表示
2^P 个旋转因子的排列次序（
J=0,1 \ldots \ldots, 2^{P}-1 ），则： 　　
k=J \cdot 2^{M-P-1} 　　下面介绍旋转因子的具体寻址方法： 　　实际上，如果FFT的点数是N点，我们使用到的旋转因子数目为N/2，也就是
W_N^0-W_N^{N/2-1} 。接下来为了区分不同蝶形单对应的旋转因子，对蝶形单进行分组，
M=\log _{2} N 级运算，第n（
\mathrm{n}=0,1, \cdots \cdots, \quad \mathrm{M}-1 ）级FFT运算共有
2^{M-n-1}=p 组。例如，基2 8点FFT第一级将蝶形运算分为：
2^{3-0-1}=4 组，第二级：
2^{3-1-1}=2 ，第三级……（由图一也可以看出）。 　　设基2 8点FFT的旋转因子的地址分别为：00 01 10 11（分别对应
W_8^0-W_8^3 ），称之为选装银子的物理地址。 　　第0级分为4组，每组一个蝶形运算单，共需要一个不同的旋转因子，即：
W_8^0 　　第1级分为两组，每一组两个蝶形运算单，共需要两个不同的旋转因子，两个旋转因子的寻址地址分别为00 10（00 01——物理地址的倒序），即为（
W_8^0、W_8^2 ） 　　第2级分为一组，每一组四个个蝶形运算单，共需要四个不同的旋转因子，四个个旋转因子的寻址地址分别为00 10 01 11（00 01 10 11——物理地址的倒序），即为（
W_8^0、W_8^2、W_8^1、W_8^3 ） 　　2. 操作数、中间结果、最终结果的存储与寻址方式 　　假设FFT输入倒序，输出正序，下面来介绍原始数据的存储、中间结果的存储、输出结果读取的过程： 　　首先输入按照正常的物理地址来存储，每次蝶形运算计算的结果仍然存储到输入到蝶形运算中数据的地址，但是在寻址时需要按照蝶形运算的组进行选择。还是以基2 8点FFT为例，存储地址和对应的数据如下： 　　每一级蝶形运算的取址有固定的间隔，
M=\log _{2} N 级，用S来代表蝶形运算所在（S=0, 1, … M-1）的级数，取值间隔D为：
\mathrm{D}=2^{S} 　　如，第0级取值间隔为1，就是按序取值，并依此组合四个蝶形运算单 　　第1级的取值间隔为2，并依此组合四个蝶形运算单 　　第三级…..
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fft 计算_FFT原理通俗易懂 　　至此，完全可以看懂蝶形运算单的数据流向的，真是清清爽爽！ 　　六、硬件架构 　　具体实现方式请参考这篇文章。在路上：FFT的4096点verilog实现 从仿真到FPGA上板实测 　　后续的更新请：在路上 　　具体设计方案可加wx：Jx_G_zhihu

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