马尔可夫不等式与切比雪夫不等式
马尔可夫不等式把概率关联到数学期望，给出了随机变量的分布函数的一个宽泛但仍有用的界。
令 X X X为非负随机变量，且假设 E ( X ) E(X) E(X)存在，则对任意的 a > 0 a>0 a>0有
P { X ≥ a } ≤ E [ X ] a \begin{aligned} P\left\{ X\ge a \right\}\le \frac{E[X]}{a} \end{aligned} P{
X≥a}≤aE[X]
马尔可夫不等式是用来估计尾部事件的概率上界。
一个直观的例子是：如果 X X X是工资，那么 E ( X ) E(X) E(X)就是平均工资，假设 a = n ∗ E ( X ) a=n{*}E(X) a=n∗E(X)，即平均工资的 n n n倍。那么根据马尔可夫不等式，不超过 1 / n 1/n 1/n的人会有超过平均工资的 n n n倍的工资。
证明如下：
E ( X ) = ∫ 0 ∞ x f ( x ) d x = ∫ 0 a x f ( x ) d x + ∫ a + ∞ x f ( x ) d x ≥ ∫ a + ∞ x f ( x ) d x ≥ a ∫ a + ∞ f ( x ) d x ≥ a P { X > a } \begin{aligned} E\left( X \right)=\int_{0}^{\infty }{xf\left( x \right)dx=}\int_{0}^{a}{xf\left( x \right)dx}+\int_{a}^{+\infty }{xf\left( x \right)dx} \ge \int_{a}^{+\infty }{xf\left( x \right)dx} \ge a\int_{a}^{+\infty }{f\left( x \right)dx} \ge aP\left\{ X>a \right\} \\ \end{aligned} E(X)=∫0∞xf(x)dx=∫0axf(x)dx+∫a+∞xf(x)dx≥∫a+∞xf(x)dx≥a∫a+∞f(x)dx≥aP{
X>a}
切比雪夫不等式是马尔可夫不等式的特殊情况。
马尔可夫不等式的作用：推导切比雪夫不等式。
若随机变量 X X X的数学期望和方差都存在，分别设为 E ( X ) E(X) E(X)和 D ( X ) D(X) D(X)，则对任意的 ε > 0 \varepsilon >0 ε>0，有
P { ∣ X − E ( X ) ∣ ≥ ε } ≤ D ( X ) ε 2 \begin{aligned} P\left\{ \left| X-E\left( X \right) \right|\ge \varepsilon \right\}\le \frac{D\left( X \right)}{
{
{\varepsilon }^{2}}} \end{aligned} P{
∣X−E(X)∣≥ε}≤ε2D(X)
通过马尔可夫不等式可以证明：
P { ∣ X − E ( X ) ∣ ≥ ε } = P { ∣ X − E ( X ) ∣ 2 ≥ ε 2 } ≤ E { ∣ X − E ( X ) ∣ 2 } ε 2 = D ( X ) ε 2 \begin{aligned} P\left\{ \left| X-E\left( X \right) \right|\ge \varepsilon \right\}\text{=}P\left\{ {
{\left| X-E\left( X \right) \right|}^{\text{2}}}\ge {
{\varepsilon }^{\text{2}}} \right\}\le \frac{E\left\{ {
{\left| X-E\left( X \right) \right|}^{\text{2}}} \right\}}{
{
{\varepsilon }^{2}}}\text{=}\frac{D\left( X \right)}{
{
{\varepsilon }^{2}}} \end{aligned} P{
∣X−E(X)∣≥ε}=P{
∣X−E(X)∣2≥ε2}≤ε2E{
∣X−E(X)∣2}=ε2D(X)
切比雪夫不等式没有限定分布的形式，所以应用广泛，但是这个界很松。
ε \varepsilon ε代表 X X X和期望 E ( X ) E(X) E(X)之间的距离，相差越大，则概率越小，它描述了这样一个事实：事件大多会集中在平均值附近。
参考：
1.https://www.cnblogs.com/yanghh/p/13291411.html
2.https://baike.so.com/doc/7009641-7232523.html
3.https://www.cnblogs.com/hmy-666/p/12771586.html
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