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黎曼猜想到底是啥_黎曼猜想如果被证明会怎样

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黎曼猜想到底是啥_黎曼猜想如果被证明会怎样

2018年，89岁高龄的菲尔兹奖得主，迈克尔·阿蒂亚爵士举行了他最后一次公开的数学报告：

黎曼猜想到底是啥_黎曼猜想如果被证明会怎样

这个报告是关于“黎曼猜想”的证明，报告结束后仅仅三个月，老爷子就溘然长逝。

这次报告到底是不是证明了“黎曼猜想”，我没有资格评论，这需要数学界内部进行审查。哪怕就算结果错的，也有可能指出新的突破方向，这在数学史上也层出不穷。留待学界、时间来检验吧。

但是，黎曼猜想：

\zeta 函数的所有非平凡零点的实部都是\frac{1}{2} 。

到底说了什么，能让这位耄耋老人在生命的最后一刻依然向它发起冲锋；让一代代的数学家为之魂系梦绕（大数学家希尔伯特就说过，如果他能复活，第一件事情就是要问问，黎曼猜想证明了吗？）。

逝者安息，生者传承，下面就以我们的方式尽量数普一下黎曼猜想，把老爷子这份执着传递一二，把无数数学家的这份执着传递一二。

1 素数

大于1的自然数中，除了1和该数自身外，无法被其他自然数整除的数称为 素数 （Prime Number），比如2、3、5、7、11、\cdots 。

我们知道素数是无穷的（欧几里得定理），也可以通过埃拉托斯特尼筛法筛出有限个的素数：

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但对于素数的整体了解依然非常少，素数似乎是完全随机地掺杂在自然数当中的一样，下面是 1000 以内的素数表，看上去也没有什么规律（你说它越来越稀疏吧，877、881、883、887 又突然连着出现 4 个素数，和 10 以内的素数个数一样多）：

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别说素数的精确分布了，就是随机抽取一个足够大的自然数出来，要检验它是否是素数都需要经过一番艰苦的计算。

以研究素数为核心的数论，在数学家眼中就是：

数学是科学的皇后，数论是数学的皇后。

—-高斯

你可能会有一个疑问，研究素数干嘛？可以改善生活吗？提高寿命吗？粮食增产吗？移民火星吗？

当然可以给出一些现实的理由，比如流行的区块链中的加密算法就依赖于素数分布的一些理论。但是随着了解的深入，我发现对于数学家而言这些根本不重要，不足以构成驱使他们前进的动力。正如有人询问著名登山家乔治·马洛里“为什么要登山”，马洛里回答道：“因为山在那里”：

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数学家研究素数的理由很简单，因为它在那里。数论可能才是最纯粹的数学，才是数学的初心。

2 素数计数函数

先根据之前给出的素数表绘制一个函数图像：

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纵坐标\pi(n) 表示的是n 以内素数的个数。比如从图像上可以看出：

\pi(10)=4

这个意思就是 10 以内有 4 个素数（我们知道分别是，2、3、5、7 ）。这个\pi(n) 被称为 素数计数函数 （Prime-counting function）。

得到素数的精确分布目前还属于天方夜谭，数学家就退而求其次，想知道\pi(n) 到底是多少？这就是几千年来素数研究的核心问题。

3 素数定理

高斯和勒让德猜测：

\pi(x)\approx \frac{x}{\ln x}

后来又有改进的猜测：

\pi(x)\approx Li(x)=\int_2^x\frac{1}{\ln t}\mathrm{d}t

把这三个函数图像放在一起，看上去好像确实可以看作近似，并且后者近似还要好一些：

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这两个猜测，尤其是后者，都可以称为 素数定理 （The Prime Theory），只是此时还没有证明。

4 《论小于一个给定值的素数的个数》

格奥尔格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼（1826－1866）德国数学家，黎曼几何学创始人，复变函数论创始人之一：

黎曼猜想到底是啥_黎曼猜想如果被证明会怎样

1859年黎曼被任命为柏林科学院的通讯院士，作为见面礼，黎曼提交了他唯一关于数论的论文，也是唯一完全不包含几何概念的论文，《论小于一个给定值的素数的个数》：

黎曼猜想到底是啥_黎曼猜想如果被证明会怎样

这篇论文总共只有9页，却可以名列最难读的论文之列（黎曼显然高估了阅读者的水平，其中不少结论都没有给出证明，因为他觉得不证自明、一目了然。但是事实是，比如其中证明的一小步，都花费了后人46年的时间才证明出来），同时又是素数研究领域最重要的一篇论文。

听这个论文的名字也知道这篇论文是关于\pi(x) 的，确实，在这篇文章中，黎曼居然给出了素数计数函数的准确表达式：

\pi (x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n}J\left(\sqrt[n]{x}\right)

先不管这个函数的细节，看到没，黎曼压根就没有理会什么素数定理，直接给出了\pi(x) 的精确表达式，这就是王霸之气，不玩擦边球，来就直捣黄龙，解决主帅。

5 黎曼猜想

\pi(x) 的表达式并不简单。想想也可以理解，要是初等数学就可以解决的问题，很可能早就被欧拉、高斯这两位数学守门员（形容不要想在这两位大神手里捡漏）给征服了。

重复一下，\pi(x) 长这样：

\pi (x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n}J\left(\sqrt[n]{x}\right)

这个函数分为两部分：

  • 黎曼素数计数函数：就是式子中的J(x) ，下面是它的代数表达式：

    J(x)=Li(x)-\sum_{\rho}Li(x^{\rho})-\ln 2 +\int_x^\infty\frac{dt}{t(t^2-1)\ln t}

    J(x) 实际上是黎曼给出的对\pi(x) 的近似，也称作 黎曼素数计数函数 ，这个代数表达式的含义之后会细说

  • 修正项：也就是：

    \frac{\mu(n)}{n}

    其中\mu(n) 称为莫比乌斯函数，具体的代数表达式如下：

    \mu(n)= \begin{cases} 1& \text{n=1，或偶数个不同素数的积}\\ -1& \text{n是素数，或奇数个不同素数的积}\\ 0 & \text{n含有一个平方因子} \end{cases}

整个式子的意思就是，通过修正项调整之后，黎曼给出的素数计数函数J(x) 就完全等于\pi(x) 了。

5.1 \zeta 函数与非平凡零点

要把 J(x) 介绍清楚，先得引入一个 \zeta 函数 ：

\zeta(s)=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\cdots

为什么自变量用 s ，不用 x 呢？因为这是定义在复数域上的函数，即 s\in\mathbb{C} ，而复数域习惯用 s 来表示自变量（之前我就介绍过了，实数的问题如果解决不了，可以尝试升维到复数中去）。

如果尝试解下面与 \zeta(x) 函数相关的方程：

\zeta(s)=0

这个方程的解有无数多个，可以分为两类：

  • 平凡解：s=-2n ，也就是所有负偶数。这个解看上去就比较简单，也很容易求，所以叫做平凡解，也叫做\zeta 函数的平凡零点

  • 非平凡解：s=a+bi ，也就是复数解。这类解就很复杂，现在都没有求出所有的解，而且估计求出这所有解的难度不亚于求出素数的精确分布，目前只是通过暴力运算求出了一些。所以叫做非平凡解，也叫做\zeta 函数的 非平凡零点

至此，黎曼猜想中最重要的两个名词都出现了：\zeta 函数、非平凡零点。

5.2 黎曼素数计数函数

好，回头再来看J(x) ：

J(x)=Li(x)-\sum_{\rho}Li(x^{\rho})-\ln 2 +\int_x^\infty\frac{dt}{t(t^2-1)\ln t}

这个函数有4部分：

  • Li(x) ：这个是之前提到过的，关于\pi(x) 的一个近似

  • \displaystyle\sum_{\rho}Li(x^{\rho}) ：\rho 就是指的\zeta 函数的非平凡零点，就是说把所有非平凡零点的x^{\rho} 加起来

  • \ln 2 ：这是一个常数

  • \int_x^\infty\frac{dt}{t(t^2-1)\ln t} ：x 越大，这项越趋近于0，在x=2 时取得最大值0.1400101\cdots ，也不是很重要

之前也说了，J(x) 本身就是对\pi(x) 的近似，从下面动图也可以看出，越多的非平凡零点\rho 参与运算（通过暴力计算得到），J(x) 越贴合\pi(x) ，近似效果比素数定理要好得多：

黎曼猜想到底是啥_黎曼猜想如果被证明会怎样

5.3 黎曼猜想

通过上面的分析，如果可以知道\zeta 函数的所有非平凡零点\rho ，那么就可以得到精确的\pi(x) 。但是非平凡零点\rho 求解的难度似乎不亚于得到素数精确分布的难度，怎么办？

如果知道\rho 的范围也可以（下面Re(\rho) 表示\rho 的实部）：

  • 如果0 < Re(\rho) < 1 ：那么素数定理成立，这已经被证明了，历史上素数定理最初也是据此证明出来的

  • 如果Re(\rho) = \frac{1}{2} ：这其实就是黎曼猜想的另外一种描述。如果黎曼猜想成立的，那就可以证出：

    \pi(x)=Li(x)+O(x^\frac{1}{2}\ln x)

    也就是知道素数定理中的Li(x) 到底与真正的\pi(x) 有多大的误差。

证明了黎曼猜想，我们就在素数分布上进了一大步。但这只是开始，离真正的素数分布还差得很远。

6 《素数之恋》

希望大家读完这篇文章可以对黎曼猜想有一个粗糙的了解，当然还有很多的疑问：

  • \zeta 函数的非平凡零点\rho 怎么就和素数的分布有关系？

  • \zeta 函数是怎么扩张到复数域的？

  • 为什么黎曼会猜想Re(\rho) = \frac{1}{2} ？

  • J(x) 怎么就长那个样子？

  • \mu(x) 定义成这样有什么动机？

  • 关于非平凡零点\rho 目前我们知道哪些？

  • \cdots\cdots

你可以把这篇文章看作一个大纲，或者《素数之恋》的读书笔记，所有的细节基本上都可以在这本书中找到。这本书也是我觉得写得最好的关于黎曼猜想的书。

7 写在后面的

黎曼这篇天才论文开辟了一个时代，其中很多结论虽然未经证明，但对于数学家这不啻于一座宝藏。

黎曼其人，出生贫寒，又遇上欧洲动荡、秩序重建，贵族自身难保，使得他很难像以往天才数学家一样可以获得贵族的资助。贫病交加之下黎曼40岁就因肺结核去世。仿佛天妒英才，上帝好像不想让人类过早地就拆穿了它所有的秘密。

如果黎曼活得长一些，说不定黎曼猜想就可以在他自己手中解决。不过不管怎样，素数的秘密，正如希尔伯特所说，“我们必须知道，我们必将知道”：

黎曼猜想到底是啥_黎曼猜想如果被证明会怎样

本文最新版本在（可能有不定期更新）：黎曼猜想到底说了什么？ 

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