高等数学笔记:留数法和加法_高数分部积分法例题

高等数学笔记:留数法和加法_高数分部积分法例题

繁星数学随想录·笔记卷

方法卷

留数法

留数法针对有理分式的拆分

一 、 ∫ 8 x + 3 ( x + 3 ) ( 2 x − 1 ) d x   💖 一、\int\frac{8x+3}{(x+3)(2x-1)}dx\ 💖 (x+3)(2x1)8x+3dx 💖

8 x + 3 ( x + 3 ) ( 2 x − 1 ) = A x + 3 + B 2 x − 1 令   x + 3 = 0   ,   x = − 3   ,   A = 8 x + 3 ( x + 3 ) ( 2 x − 1 ) = 8 × ( − 3 ) + 3 ( − 3 + 3 ) ‾ ( 2 × ( − 3 ) − 1 ) = 8 × ( − 3 ) + 3 2 × ( − 3 ) − 1 = 3 令   2 x − 1 = 0   ,   x = 1 2   ,   B = 8 x + 3 ( x + 3 ) ( 2 x − 1 ) = 8 × 1 2 + 3 ( 1 2 + 3 ) ( 2 × 1 2 − 1 ) ‾ = 8 × 1 2 + 3 1 2 + 3 = 2 \begin{aligned} & \frac{8x+3}{(x+3)(2x-1)} = \frac{A}{x+3}+\frac{B}{2x-1} \\ \\ & 令\ x+3=0 \ , \ x=-3 \ , \ \\ & \quad\quad\quad A=\frac{8x+3}{(x+3)(2x-1)}=\frac{8×(-3)+3}{\underline{(-3+3)}(2×(-3)-1)}=\frac{8×(-3)+3}{2×(-3)-1}=3\\ & \\ & 令\ 2x-1=0 \ , \ x=\frac12 \ , \ \\ & \quad\quad\quad B=\frac{8x+3}{(x+3)(2x-1)}=\frac{8×\frac12+3}{(\frac12+3)\underline{(2×\frac12-1)}}=\frac{8×\frac12+3}{\frac12+3}=2\\ & \\ \end{aligned} (x+3)(2x1)8x+3=x+3A+2x1B x+3=0 , x=3 , A=(x+3)(2x1)8x+3=(3+3)(2×(3)1)8×(3)+3=2×(3)18×(3)+3=3 2x1=0 , x=21 , B=(x+3)(2x1)8x+3=(21+3)(2×211)8×21+3=21+38×21+3=2

二 、 ∫ 2 x 2 − x − 1 ( x + 1 ) ( x 2 + 3 x + 1 ) d x   💖 二、\int\frac{2x^2-x-1}{(x+1)(x^2+3x+1)}dx\ 💖 (x+1)(x2+3x+1)2x2x1dx 💖

第 一 种 拆 法 2 x 2 − x − 1 ( x + 1 ) ( x 2 + 3 x + 1 ) = A x + 1 + B x + C x 2 + 3 x + 1 令   x + 1 = 0   ,   x = − 1   ,   A = 2 x 2 − x − 1 ( x + 1 ) ( x 2 + 3 x + 1 ) = 2 × ( − 1 ) 2 − ( − 1 ) − 1 ( − 1 + 1 ) ‾ ( ( − 1 ) 2 + 3 × ( − 1 ) + 1 ) = 2 × ( − 1 ) 2 − ( − 1 ) − 1 ( − 1 ) 2 + 3 × ( − 1 ) + 1 = − 2 得 到   2 x 2 − x − 1 ( x + 1 ) ( x 2 + 3 x + 1 ) = − 2 x + 1 + B x + C x 2 + 3 x + 1 低 次 项 ( 常 数 项 ) :   − 1 = ( − 2 ) × 1 + C 高 次 项 ( 二 次 项 ) :   2 = ( − 2 ) × 1 + B 解 得 :   B = 4   ,   C = 1 所 以 , 2 x 2 − x − 1 ( x + 1 ) ( x 2 + 3 x + 1 ) = − 2 x + 1 + 4 x + 1 x 2 + 3 x + 1 第 二 种 拆 法 令   x 2 + 3 x + 1 = 0   ,   Δ > 0   ,   则   x 2 + 3 x + 1 = ( x + 3 + 5 2 ) ( x + 3 − 5 2 ) 2 x 2 − x − 1 ( x + 1 ) ( x 2 + 3 x + 1 ) = A x + 1 + B x + 3 + 5 2 + C x + 3 − 5 2   ,   处 理 方 法 参 照 第 一 类 \begin{aligned} & 第一种拆法\\ & \frac{2x^2-x-1}{(x+1)(x^2+3x+1)} = \frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+3x+1} \\ \\ & 令\ x+1=0 \ , \ x=-1 \ , \ \\ & \quad\quad\quad A=\frac{2x^2-x-1}{(x+1)(x^2+3x+1)}=\frac{2×(-1)^2-(-1)-1}{\underline{(-1+1)}((-1)^2+3×(-1)+1)}=\frac{2×(-1)^2-(-1)-1}{(-1)^2+3×(-1)+1}=-2\\ & \\ & 得到\ \frac{2x^2-x-1}{(x+1)(x^2+3x+1)} = \frac{-2}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+3x+1}\\ & \quad\quad\quad 低次项(常数项):\ -1=(-2)×1+C\\ & \quad\quad\quad 高次项(二次项):\ 2=(-2)×1+B \\ & \quad\quad\quad 解得:\ B=4 \ , \ C=1\\ & 所以,\frac{2x^2-x-1}{(x+1)(x^2+3x+1)} = \frac{-2}{x+1}+\frac{4x+1}{x^2+3x+1} \\ \\ & 第二种拆法\\ & 令\ x^2+3x+1=0 \ , \ \Delta > 0 \ , \ 则\ x^2+3x+1=(x+\frac{3+\sqrt5}{2})(x+\frac{3-\sqrt5}{2})\\ & \frac{2x^2-x-1}{(x+1)(x^2+3x+1)} = \frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+\frac{3+\sqrt5}{2}} +\frac{C}{x+\frac{3-\sqrt5}{2}} \ , \ 处理方法参照第一类 \end{aligned} (x+1)(x2+3x+1)2x2x1=x+1A+x2+3x+1Bx+C x+1=0 , x=1 , A=(x+1)(x2+3x+1)2x2x1=(1+1)((1)2+3×(1)+1)2×(1)2(1)1=(1)2+3×(1)+12×(1)2(1)1=2 (x+1)(x2+3x+1)2x2x1=x+12+x2+3x+1Bx+C(): 1=(2)×1+C(): 2=(2)×1+B: B=4 , C=1(x+1)(x2+3x+1)2x2x1=x+12+x2+3x+14x+1 x2+3x+1=0 , Δ>0 ,  x2+3x+1=(x+23+5
)(x+235
)
(x+1)(x2+3x+1)2x2x1=x+1A+x+23+5
B
+x+235
C
 , 

三 、 ∫ 2 x 2 + 17 x − 16 ( x + 3 ) ( 2 x − 1 ) 2 d x   💖 三、\int\frac{2x^2+17x-16}{(x+3)(2x-1)^2}dx\ 💖 (x+3)(2x1)22x2+17x16dx 💖

第 一 种 拆 法 2 x 2 + 17 x − 16 ( x + 3 ) ( 2 x − 1 ) 2 = A x + 3 + B 2 x − 1 + C ( 2 x − 1 ) 2 令   x + 3 = 0   ,   x = − 3   ,   A = 2 x 2 + 17 x − 16 ( x + 3 ) ( 2 x − 1 ) 2 = 2 × ( − 3 ) 2 + 17 × ( − 3 ) − 16 ( − 3 + 3 ) ‾ ( 2 × ( − 3 ) − 1 ) 2 = 2 × ( − 3 ) 2 + 17 × ( − 3 ) − 16 2 × ( − 3 ) − 1 = − 1 令   ( 2 x − 1 ) 2 = 0   ,   x = 1 2   ,   C = 2 x 2 + 17 x − 16 ( x + 3 ) ( 2 x − 1 ) 2 = 2 × ( 1 2 ) 2 + 17 × 1 2 − 16 ( 1 2 + 3 ) ( 2 × 1 2 − 1 ) 2 ‾ = 2 × ( 1 2 ) 2 + 17 × 1 2 − 16 ( 1 2 + 3 ) = − 2 利 用 特 殊 值 求 出 系 数 B , 不 妨 令 x = 0 , 对 于 2 x 2 + 17 x − 16 ( x + 3 ) ( 2 x − 1 ) 2 = − 1 x + 3 + B 2 x − 1 + − 2 ( 2 x − 1 ) 2 , x = 0 , 易 得 B = 3 第 二 种 拆 法 2 x 2 + 17 x − 16 ( x + 3 ) ( 2 x − 1 ) 2 = A x + 3 + B x + C ( 2 x − 1 ) 2   ,   处 理 方 法 参 照 第 一 类 \begin{aligned} & 第一种拆法\\ & \frac{2x^2+17x-16}{(x+3)(2x-1)^2} = \frac{A}{x+3}+\frac{B}{2x-1}+\frac{C}{(2x-1)^2} \\ \\ & 令\ x+3=0 \ , \ x=-3 \ , \ \\ & \quad\quad\quad A=\frac{2x^2+17x-16}{(x+3)(2x-1)^2}=\frac{2×(-3)^2+17×(-3)-16}{\underline{(-3+3)}(2×(-3)-1)^2}=\frac{2×(-3)^2+17×(-3)-16}{2×(-3)-1}=-1\\ & \\ & 令\ (2x-1)^2=0 \ , \ x=\frac12 \ , \ \\ & \quad\quad\quad C=\frac{2x^2+17x-16}{(x+3)(2x-1)^2}=\frac{2×(\frac12)^2+17×\frac12-16}{(\frac12+3)\underline{(2×\frac12-1)^2}}=\frac{2×(\frac12)^2+17×\frac12-16}{(\frac12+3)}=-2\\ & 利用特殊值求出系数B,不妨令x=0,对于\\ & \quad\quad\quad \frac{2x^2+17x-16}{(x+3)(2x-1)^2} = \frac{-1}{x+3}+\frac{B}{2x-1}+\frac{-2}{(2x-1)^2},x=0,易得B=3\\ \\ & 第二种拆法\\ & \frac{2x^2+17x-16}{(x+3)(2x-1)^2} = \frac{A}{x+3}+\frac{Bx+C}{(2x-1)^2} \ , \ 处理方法参照第一类 \end{aligned} (x+3)(2x1)22x2+17x16=x+3A+2x1B+(2x1)2C x+3=0 , x=3 , A=(x+3)(2x1)22x2+17x16=(3+3)(2×(3)1)22×(3)2+17×(3)16=2×(3)12×(3)2+17×(3)16=1 (2x1)2=0 , x=21 , C=(x+3)(2x1)22x2+17x16=(21+3)(2×211)22×(21)2+17×2116=(21+3)2×(21)2+17×2116=2Bx=0(x+3)(2x1)22x2+17x16=x+31+2x1B+(2x1)22x=0B=3(x+3)(2x1)22x2+17x16=x+3A+(2x1)2Bx+C , 

四 、 ∫ x − 1 ( x + 1 ) ( x 2 + x + 2 ) d x   💖 四、\int\frac{x-1}{(x+1)(x^2+x+2)}dx\ 💖 (x+1)(x2+x+2)x1dx 💖

x − 1 ( x + 1 ) ( x 2 + x + 2 ) = A x + 3 + B x + C x 2 + x + 2 令   x + 1 = 0   ,   x = − 1   ,   A = x − 1 ( x + 1 ) ( x 2 + x + 2 ) = − 1 − 1 ( − 1 + 1 ) ‾ ( ( − 1 ) 2 + ( − 1 ) + 2 ) = − 1 − 1 ( − 1 ) 2 + ( − 1 ) + 2 = − 1 令   x 2 + x + 2 = 0   ,   Δ < 0   ,   则 令   x + 1 = u   ( 即 将 另 外 一 项 整 体 代 换 )   ,   ( u − 1 ) 2 + ( u − 1 ) + 2 = 0 ⇒ u = 1 − 2 u B x + C = x − 1 ( x + 1 ) ( x 2 + x + 2 ) = x − 1 ( x + 1 ) ( x 2 + x + 2 ) ‾ = x − 1 x + 1 = 1 − 2 u = u = x + 1 所 以 , x − 1 ( x + 1 ) ( x 2 + x + 2 ) = − 1 x + 3 + x + 1 x 2 + x + 2 \begin{aligned} & \frac{x-1}{(x+1)(x^2+x+2)} = \frac{A}{x+3}+\frac{Bx+C}{x^2+x+2} \\ \\ & 令\ x+1=0 \ , \ x=-1 \ , \ \\ & \quad\quad\quad A=\frac{x-1}{(x+1)(x^2+x+2)}=\frac{-1-1}{\underline{(-1+1)}((-1)^2+(-1)+2)}=\frac{-1-1}{(-1)^2+(-1)+2}=-1\\ & \\ & 令\ x^2+x+2=0 \ , \ \Delta < 0 \ , \ 则令\ x+1=u\ (即将另外一项整体代换) \ , \ \\ & \quad\quad\quad (u-1)^2+(u-1)+2=0\Rightarrow u= 1-\frac2u\\ & \quad\quad\quad Bx+C=\frac{x-1}{(x+1)(x^2+x+2)}=\frac{x-1}{(x+1)\underline{(x^2+x+2)}}=\frac{x-1}{x+1}\\ & \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad =1-\frac2u=u=x+1 \\ & 所以,\frac{x-1}{(x+1)(x^2+x+2)} = \frac{-1}{x+3}+\frac{x+1}{x^2+x+2} \\ \end{aligned} (x+1)(x2+x+2)x1=x+3A+x2+x+2Bx+C x+1=0 , x=1 , A=(x+1)(x2+x+2)x1=(1+1)((1)2+(1)+2)11=(1)2+(1)+211=1 x2+x+2=0 , Δ<0 ,  x+1=u () , (u1)2+(u1)+2=0u=1u2Bx+C=(x+1)(x2+x+2)x1=(x+1)(x2+x+2)x1=x+1x1=1u2=u=x+1(x+1)(x2+x+2)x1=x+31+x2+x+2x+1

2024最新激活全家桶教程,稳定运行到2099年,请移步至置顶文章:https://sigusoft.com/99576.html

版权声明:本文内容由互联网用户自发贡献,该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容, 请联系我们举报,一经查实,本站将立刻删除。 文章由激活谷谷主-小谷整理,转载请注明出处:https://sigusoft.com/168242.html

(0)
上一篇 2024年 7月 2日 下午1:36
下一篇 2024年 7月 2日 下午1:42

相关推荐

关注微信