常用高斯积分表达式一：
∫ ∞ ∞ e − x 2 d x = π \int_\infty^\infty e^{-x^2}\mathrm{d}x=\sqrt{\pi} ∫∞∞e−x2dx=π
常用高斯积分表达式二：
∫ ∞ ∞ e − a ( x + b ) 2 d x = π a \int_\infty^\infty e^{-a\left(x+b\right)^2}\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi}{a}} ∫∞∞e−a(x+b)2dx=aπ
常用高斯积分表达式三：
∫ ∞ ∞ e − a x 2 + b x + c d x = π a e b 2 4 a + c \int_\infty^\infty e^{-ax^2+bx+c} \mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{4a}}+c ∫∞∞e−ax2+bx+cdx=aπe4ab2+c
常用高斯积分表达式四：
∫ ∞ ∞ e − x 2 d x = π = 2 ∫ 0 ∞ e − x 2 d x \int_\infty^\infty e^{-x^2}\mathrm{d}x=\sqrt{\pi}=2\int_0^\infty e^{-x^2}\mathrm{d}x ∫∞∞e−x2dx=π=2∫0∞e−x2dx
第二个表达形式在实际积分中非常常见和高效。
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