轮胎侧偏角定义_前后轮侧偏角之差

轮胎侧偏角定义_前后轮侧偏角之差

如图所示:
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图中:
   X − O − Y X – O – Y XOY 为全局直角坐标系;
   x − o − y x – o – y xoy 为车身直角坐标系,其中: o o o 为前轮转向中心, x x x 为车头朝向;
   x ′ − o ′ − y ′ x’ – o’ – y’ xoy 为前轮直角坐标系,其中: o ′ o’ o 为前轮转向中心, x ′ x’ x 为轮胎前进方向;
   φ \varphi φ 为航向角;
   δ \delta δ 为前轮转角。
  侧偏角是指纵向速度和合速度之间的夹角, x x x 轴上方为正,下方为负。在不同的坐标系中,同一点的侧偏角并不相同,其计算方式为对应坐标系下的侧向速度除以纵向速度然后取反正切,正负号根据对应坐标系的 x x x 轴进行判断。例如图中:
   β f \beta_f βf 为前轮中心 o ′ o’ o x − o − y x – o – y xoy 坐标系下的侧偏角,符号为正:
β f = arctan ⁡ v y , f o v x , f o \beta_f = \arctan \frac{v_{y,f}^o}{v_{x,f}^o} βf=arctanvx,fovy,fo

   α f \alpha_f αf 为前轮中心 o ′ o’ o x ′ − o ′ − y ′ x’ – o’ – y’ xoy 坐标系下的侧偏角,符号为正:
α f = arctan ⁡ v y , f t v x , f t \alpha_f = \arctan \frac{v_{y,f}^t}{v_{x,f}^t} αf=arctanvx,ftvy,ft

(上标 o o o 表示在 x − o − y x – o – y xoy 坐标系中的速度矢量,上标 t t t 表示在 x ′ − o ′ − y ′ x’ – o’ – y’ xoy 坐标系中的速度矢量)

  将点 o ′ o’ o x − o − y x – o – y xoy 坐标系下的速度转换到 x ′ − o ′ − y ′ x’ – o’ – y’ xoy 坐标系中,得:
v x , f t = v x , f o ⋅ cos ⁡ δ   +   v y , f o ⋅ sin ⁡ δ , v y , f t = v y , f o ⋅ cos ⁡ δ   −   v x , f o ⋅ sin ⁡ δ , \begin{matrix} v_{x,f}^t = v_{x,f}^o \cdot \cos \delta \ + \ v_{y,f}^o \cdot \sin \delta, \\ \\ v_{y,f}^t = v_{y,f}^o \cdot \cos \delta \ – \ v_{x,f}^o \cdot \sin \delta, \end{matrix} vx,ft=vx,focosδ + vy,fosinδ,vy,ft=vy,focosδ  vx,fosinδ,

综合上述表达式,得:

α f = arctan ⁡ v y , f o ⋅ cos ⁡ δ   −   v x , f o ⋅ sin ⁡ δ v x , f o ⋅ cos ⁡ δ   +   v y , f o ⋅ sin ⁡ δ = arctan ⁡ v y , f o v x , f o   −   tan ⁡ δ 1   +   v y , f o v x , f o ⋅ tan ⁡ δ = arctan ⁡ tan ⁡ β f   −   tan ⁡ δ 1   +   tan ⁡ β f ⋅ tan ⁡ δ = β f − δ \alpha_f = \arctan \frac{v_{y,f}^o \cdot \cos \delta \ – \ v_{x,f}^o \cdot \sin \delta}{v_{x,f}^o \cdot \cos \delta \ + \ v_{y,f}^o \cdot \sin \delta} = \arctan \frac{\frac{v_{y,f}^o}{v_{x,f}^o} \ – \ \tan \delta}{1 \ + \ \frac{v_{y,f}^o}{v_{x,f}^o} \cdot \tan \delta} = \arctan \frac{\tan \beta_f \ – \ \tan \delta}{1 \ + \ \tan \beta_f \cdot \tan \delta} = \beta_f – \delta αf=arctanvx,focosδ + vy,fosinδvy,focosδ  vx,fosinδ=arctan1 + vx,fovy,fotanδvx,fovy,fo  tanδ=arctan1 + tanβftanδtanβf  tanδ=βfδ

  对于轮胎侧向力的计算,采用的是相对于轮胎坐标系下的侧偏角 ( α f \alpha_f αf ),在纯侧滑的情况下,轮胎侧向力与侧偏角的关系曲线如下图所示,可以看出,轮胎侧向力与侧偏角的符号是相反的。如果侧向力采用近似线性计算,则侧偏刚度往往取侧偏角为 0 0 0 处的斜率 − C f -C_f Cf,从而计算得到侧向力为:

F y , f = − C f ⋅ α = C f ⋅ ( δ   −   β f ) F_{y,f} = -C_f \cdot \alpha = C_f \cdot (\delta \ – \ \beta_f) Fy,f=Cfα=Cf(δ  βf)

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  在评论区中有朋友提到这样的问题:在某些文章或者书本绘制的示意图中,侧偏角绘制在前轮转角内,如下图所示,但是无论侧偏角在前轮转角内侧还是外侧,最终计算侧向力的表达式相同。造成这种殊途同归的情况,个人认为原因在于应用的侧偏角和侧向力的相关曲线不同。下面讲述一下个人的理解。
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  依据上图所示情况,可得:

α f = δ   −   β f \alpha_f = \delta \ – \ \beta_f αf=δ  βf

这与上文中推导的侧偏角 ( α f \alpha_f αf ) 正好相差一个负号。
  仍然约定侧偏角在 x x x 轴上方为正,下方为负。依据上文中的推导过程,同理可得:

β f = arctan ⁡ v y , f o v x , f o , α f = arctan ⁡ v y , f t v x , f t , v x , f t = v x , f o ⋅ cos ⁡ δ   +   v y , f o ⋅ sin ⁡ δ , v y , f t = v x , f o ⋅ sin ⁡ δ   −   v y , f o ⋅ cos ⁡ δ , \begin{matrix} \beta_f = \arctan \frac{v_{y,f}^o}{v_{x,f}^o}, \\ \\ \alpha_f = \arctan \frac{v_{y,f}^t}{v_{x,f}^t}, \\ \\ v_{x,f}^t = v_{x,f}^o \cdot \cos \delta \ + \ v_{y,f}^o \cdot \sin \delta, \\ \\ v_{y,f}^t = v_{x,f}^o \cdot \sin \delta \ – \ v_{y,f}^o \cdot \cos \delta, \end{matrix} βf=arctanvx,fovy,fo,αf=arctanvx,ftvy,ft,vx,ft=vx,focosδ + vy,fosinδ,vy,ft=vx,fosinδ  vy,focosδ,

  综合上述表达式,得:

α f = arctan ⁡ v x , f o ⋅ sin ⁡ δ   −   v y , f o ⋅ cos ⁡ δ v x , f o ⋅ cos ⁡ δ   +   v y , f o ⋅ sin ⁡ δ = arctan ⁡ tan ⁡ δ   −   v y , f o v x , f o 1   +   v y , f o v x , f o ⋅ tan ⁡ δ = arctan ⁡ tan ⁡ δ   −   tan ⁡ β f 1   +   tan ⁡ β f ⋅ tan ⁡ δ = δ − β f \alpha_f = \arctan \frac{v_{x,f}^o \cdot \sin \delta \ – \ v_{y,f}^o \cdot \cos \delta}{v_{x,f}^o \cdot \cos \delta \ + \ v_{y,f}^o \cdot \sin \delta} = \arctan \frac{ \tan \delta \ – \ \frac{v_{y,f}^o}{v_{x,f}^o}}{1 \ + \ \frac{v_{y,f}^o}{v_{x,f}^o} \cdot \tan \delta} = \arctan \frac{\tan \delta \ – \ \tan \beta_f}{1 \ + \ \tan \beta_f \cdot \tan \delta} = \delta – \beta_f αf=arctanvx,focosδ + vy,fosinδvx,fosinδ  vy,focosδ=arctan1 + vx,fovy,fotanδtanδ  vx,fovy,fo=arctan1 + tanβftanδtanδ  tanβf=δβf

  在这种情况下,应该对应如下侧偏角与侧向力关系曲线,而不是上文给出的曲线,所以对应的近似线性侧偏刚度为 C f C_f Cf,从而计算得到侧向力为:

F y , f = C f ⋅ α f = C f ⋅ ( δ   −   β f ) F_{y,f} = C_f \cdot \alpha_f = C_f \cdot (\delta \ – \ \beta_f) Fy,f=Cfαf=Cf(δ  βf)

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