黎曼积分的概念
引入
设 f f f是闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的非负连续函数， D D D是坐标系中由直线 x = a x=a x=a， x = b x=b x=b， x x x轴和曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)围成的图形。求 D D D的面积 S S S。
我们可以在 [ a , b ] [a,b] [a,b]中插入 n − 1 n-1 n−1个分点：
a = x 0 < x 1 < ⋯ < x n = b a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b a=x0<x1<⋯<xn=b
将 [ a , b ] [a,b] [a,b]划分为 n n n个子区间 [ x 0 , x 1 ] , [ x 1 , x 2 ] , ⋯ , [ x n − 1 , x n ] [x_0,x_1],[x_1,x_2],\cdots,[x_{n-1},x_n] [x0,x1],[x1,x2],⋯,[xn−1,xn]，并称 T T T为 [ a , b ] [a,b] [a,b]的这样一个分割，称 ∣ T ∣ = max i = 1 n { x i − x i − 1 } |T|=\max\limits_{i=1}^n\{x_i-x_{i-1}\} ∣T∣=i=1maxn{
xi−xi−1}为分割 T T T的长度。由此可将 D D D分割为若干个部分 Δ D 1 , Δ D 2 , ⋯ , Δ D n \Delta D_1,\Delta D_2,\cdots,\Delta D_n ΔD1,ΔD2,⋯,ΔDn。在每一个区间 [ x i − 1 , x i ] [x_{i-1},x_i] [xi−1,xi]任意取一个点 ξ i \xi_i ξi，用 f ( ξ i ) ( x i − x i − 1 ) f(\xi_i)(x_i-x_{i-1}) f(ξi)(xi−xi−1)来近似地表示 Δ D i \Delta D_i ΔDi的面积。于是，我们可以用以下式子来近似地表示 S S S。
∑ i = 1 n f ( ξ i ) ( x i − x i − 1 ) \sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1}) i=1∑nf(ξi)(xi−xi−1)
当 ∣ T ∣ |T| ∣T∣越小，这个式子对 S S S的近似程度就越高。当 ∣ T ∣ → 0 |T|\rightarrow0 ∣T∣→0时，如果 ∑ i = 1 n f ( ξ i ) ( x i − x i − 1 ) \sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1}) i=1∑nf(ξi)(xi−xi−1)的极限存在，则这个极限就为图形 D D D的面积 S S S。
定义
设 f f f是闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的有界函数，如果存在实数 I I I，使得对于 [ a , b ] [a,b] [a,b]的任意满足 ∣ T ∣ = max i = 1 n { x i − x i − 1 } → 0 |T|=\max\limits_{i=1}^n\{x_i-x_{i-1}\}\rightarrow 0 ∣T∣=i=1maxn{
xi−xi−1}→0分割 T : a = x 0 < x 1 < ⋯ < x n = b T:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b T:a=x0<x1<⋯<xn=b，在每个子区间 [ x i − 1 , x i ] [x_{i-1},x_i] [xi−1,xi]中任取一个点 ξ i \xi_i ξi，就有
∑ i = 1 n f ( ξ i ) ( x i − x i − 1 ) = I \sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1})=I i=1∑nf(ξi)(xi−xi−1)=I
即 ∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 \forall\varepsilon>0,\exist\delta>0 ∀ε>0,∃δ>0，只要分割 T T T的长度 ∣ T ∣ < δ |T|<\delta ∣T∣<δ，无论 ξ ∈ [ x i − 1 , x i ] \xi\in[x_{i-1},x_i] ξ∈[xi−1,xi]如何取，都有
∣ ∑ i = 1 n f ( ξ i ) ( x i − x i − 1 ) − I ∣ < ε |\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1})-I|<\varepsilon ∣i=1∑nf(ξi)(xi−xi−1)−I∣<ε
则称 f f f在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上黎曼可积，称 I I I是 f f f在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的黎曼积分，记为
I = ∫ a b f ( x ) d x I=\int_a^bf(x)dx I=∫abf(x)dx
a a a和 b b b称为积分的下限和上限， f f f称为被积函数， x x x称为积分变量。
由此可得，图形 D D D的面积为
S = ∫ a b f ( x ) d x S=\int_a^bf(x)dx S=∫abf(x)dx
这就是黎曼积分的概念。
f f f在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上黎曼可积，记作 f ∈ R [ a , b ] f\in R[a,b] f∈R[a,b]。
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