高等数学：8.1 向量及其线性运算

2024年 6月 20日下午1:10 • 激活谷笔记

一、向量

向量（矢量）：既有大小，又有方向的量，如位移、速度、加速度、力、力矩等。

自由向量：与起点无关的向量，只考虑向量的大小和方向。

零向量：模等于零的向量，起点和终点重合，方向任意。

两向量共线：两向量的终点和公共起点在同一条直线上。

k向量共面：向量的k个终点和公共起点在同一个平面上。

二、向量的线性运算

1、向量的加减法

加法：
$\boldsymbol a+ \boldsymbol b= \boldsymbol c$

交换律：
$\boldsymbol a+\boldsymbol b=\boldsymbol b+\boldsymbol a$

结合律：
$(\boldsymbol a+\boldsymbol b)+\boldsymbol c=\boldsymbol a+(\boldsymbol b+\boldsymbol c)$

减法：
$\boldsymbol b-\boldsymbol a=\boldsymbol b+(-\boldsymbol a)$

2、向量与数的乘法

数乘：
$\lambda \boldsymbol a, \quad |\lambda \boldsymbol a|=|\lambda||\boldsymbol a|$

结合律：
$\lambda (\mu \boldsymbol a) = \mu ( \lambda \boldsymbol a) =(\lambda \mu) \boldsymbol a$

分配律：
$(\lambda + \mu) \boldsymbol a = \lambda \boldsymbol a + \mu \boldsymbol a ,\quad \lambda(\boldsymbol a+\boldsymbol b)=\lambda \boldsymbol a+\lambda \boldsymbol b$

与原向量同方向的单位向量：
$\frac{\boldsymbol a}{|\boldsymbol a|} = \boldsymbol e_a$

设向量 $\boldsymbol a \neq 0$ ，则向量 $\boldsymbol b$ 平行于向量 $\boldsymbol a$ 的充分必要条件是：存在唯一的实数 $\lambda$ ，使 $\boldsymbol b=\lambda \boldsymbol a$

数轴上点 $P$ 的坐标为 $x$ 的充分必要条件是：
$\vec{OP}=x \boldsymbol i$

三、空间直角坐标系

向量的坐标分解式：
$\boldsymbol r =\vec{OM} = x \boldsymbol i + y \boldsymbol j + z \boldsymbol k$

向量的坐标：
$\boldsymbol r =(x,y,z)$

四、利用坐标作向量的线性运算

加法：
$\boldsymbol a+\boldsymbol b=(a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z)$

减法：
$\boldsymbol a-\boldsymbol b=(a_x-b_x,a_y-b_y,a_z-b_z)$

数乘：
$\lambda \boldsymbol a=(\lambda a_x,\lambda a_y,\lambda a_z)$

当向量 $\boldsymbol a \neq \boldsymbol 0$ ，向量 $\boldsymbol b \parallel \boldsymbol a$ 相当于 $\boldsymbol b = \lambda \boldsymbol a$ ：
$(b_x,b_y,b_z)=(\lambda a_x,\lambda a_y,\lambda a_z)$

线段 $A B$ 的中点：
$M(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2})$

五、向量的模、方向角、投影

$A$ 、 $B$ 两点间的距离：
$|AB|=|\vec{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$

方向余弦：
$(\cos \alpha,\cos \beta, \cos \gamma)=(\frac{x}{|\boldsymbol r|},\frac{y}{|\boldsymbol r|},\frac{z}{|\boldsymbol r|}) = \frac{1}{|\boldsymbol r|}(x,y,z)=\frac{\boldsymbol r}{|\boldsymbol r|} = \boldsymbol e_r$

$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma =1$

投影：
$a_x=Prj_x \boldsymbol a, \quad a_y=Prj_y \boldsymbol a, \quad a_z=Prj_z \boldsymbol a$

投影性质：
$Prj_u \boldsymbol a=|\boldsymbol a|cos \varphi, \quad Prj_u (\boldsymbol a+\boldsymbol b)=Prj_u \boldsymbol a + Prj_u \boldsymbol b, \quad Prj_u (\lambda \boldsymbol a)=\lambda Prj_u \boldsymbol a$