1.集合是具有某种特定性质，具体的或抽象的对象汇集的总体
2.集合的表示有枚举法和描述法
3.集合有三个性质——确定性，无序性，互异性
4.集合S的所有素都属于集合T，称S是T的子集
5.如果S是T的子集，T中存在至少一个素不属于S，称S是T的真子集
6.空集是一个素都没有的集合，它是所有集合的子集，是所有非空集合的真子集
7.区间一般是实数的子集
8.集合的运算有四种——并、交、差、补
9.集合运算满足交换律、结合律、分配律和对偶律
10.由n个非负整数的素构成的集合称为有限集，不是有限集的集合称为无限集
11.若无限集的素可按某种规则排成一列，则称该集合是可列集
12.任一无限集包含可列子集，无限集不一定是可列集
13.可列个可列集之并也是可列集
14.有理数集合Q是可列集
从今天开始，我们正式进入数学基础第一个模块——数学分析的学习，从【集合论】开始吧，废话不多说，进入正题。
集合的定义与表示
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集合的定义
集合是具有某种特定性质，具体的或抽象的对象汇集的总体
在集合的定义中，其中“对象”一般称为素。我们约定，集合用大写表示，比如A,S,T；素用小写表示，比如a,x,b。
数学上常见的集合用固定的记号表示：
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集合的表示
集合的表示有两种方式，第一种是枚举法，就是把所有素列举出来。
比如说光的基色的集合，可以表示为{红，绿，蓝}；
再比如正整数的集合，用枚举法表示为：
集合表示的第二种是描述法，它是指具有某种性质的素的集合。
比如有理数集合Q用描述法表示为：
最后来介绍一下空集的概念。空集，顾名思义，是指没有一个素的集合，用∅来表示：
集合的性质
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集合性质
集合的性质有三个——素唯一确定，素之间无次序关系，重复素没有意义。
集合的第一个性质也被称为确定性，它是指素唯一确定，即给定一个集合和一个素，该素要么属于该集合，要么不属于该集合。
集合的第二个性质也被称为无序性，它是说任意两个集合的素仅排列方式不同，那么这两个集合相同。比如
集合的第二个性质也被称为互异性，它是说一个集合的相同素只出现一次。比如
子集与真子集
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定义
对于集合S、T，若S的所有素都属于T，则称S是T的子集
若S是T的子集，我们记作(有些书本记号可能不尽相同,阅读文献时注意区别)：
很显然，下面的关系成立：
我们可以把子集的关系用数学语言表述：
符号“⇒”表示蕴含的意思。
相对的，我们可以定义非子集：
对于集合S、T，若S中至少有一个素不属于T，则不S是T的子集
若S不是T的子集，我们记作：
注：S不是T的子集，并非意味着S的所有素都不属于T.
进一步，我们可以定义真子集：
若S是T的子集，在T中存在一个素x不属于S，则称S是T的真子集
若S是T的真子集，我们记为：
这里要提一下空集∅，空集表示一个素也没有。对于一个非空集合T，那么任意一个不属于T的素，也就不属于∅。即命题
成立，其逆否命题也成立，也即：
所以，空集∅是任意集合的子集。
进一步，给定一个非空集合，存在一个素属于该集合而不属于空集，因此，空集∅是任一非空集合的真子集.
比如对于集合T={a，b，c}，它的子集一共8个：
简便计算公式是2的n次方(n是集合素个数)。
我们常见的区间一般是实数的子集。比如开区间(a,b)：
有了子集的概念，我们可以得到证明两个集合相同的方法。先看集合相同的定义：
若S与T的所有素完全相同，则称两集合相同，记为S=T
两个集合相同，那么其互为子集，即：
注：“⇔ ”符号表示等价、相互蕴含、当且仅当的意思.
要证明两个集合相同，可以证明其互为子集即可。
集合的运算
集合的基本运算有四种——并、交、差、补
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并集与交集
集合S与T的并集，指属于S或属于T的素的集合，用记号∪表示；
集合S与T的交集，指属于S且属于T的素的集合，用记号∩表示.
用数学表述为：
并集与交集满足以下三个定律。
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交换律
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结合律
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分配律
这三条定律都是可以证明的，我们选择分配律的第二条来证明。要证明两个集合相等，只需要证明互为子集。分两步走。
第一步：
第二步：
至此，命题得证.
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差集与补集
集合S与T的差集，是指属于S但不属于T的素的集合,记为S\T或S-T；
设在集合X中讨论问题，S是X的子集。S关于X的补集是指，属于X但不属于S的素的集合.
若T是S关于X的补集，则记：
根据定义，我们可以推出：
集合的运算还有一个对偶律，也称德摩根公式(De Morgan公式)：
无限集与可列集
定义：
若集合S由n个素组成(n是非负整数),则称S是有限集.不是有限集的集合称为无限集；
如果无限集中的素可按某种规则排成一列，则称该集合为可列集
由定义可知，有限集的素个数一定是有限个，也就是可数的。无限集的素无穷多个.
对于可列集，往往可以写成如下形式：
比如整数集合N+就是一个可列集，再比如满足sinx=0的x取值也构成一个可列集：
关于无限集与可列集，有如下命题成立：
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任一无限集包含可列子集
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无限集不一定是可列集合
比如实数集合R是无限集，但不是可列集(收敛准则第五条，这个以后证明)。
再比如整数集合Z是可列集。我们证明这一点，取
对于可列集，我们有如下定理。
定理1：可列个可列集之并也是可列集
证明这个定理的核心是这些可列集合的并集可以排成一列，并且保证素既不重复也不遗漏。我们证明这一点。
设每个可列集排列规则如下：
它们的并集按照如下规则排列(康托尔对角线法)：
这样排列保证了素不遗漏，其次遇到重复素删除即可，这就证明了可列个可列集的并集依然是一个可列集。
根据这个定理可以得到第二个定理：
定理2：有理数集合Q是可列集
证明的关键是所有的有理数排成一列：
笛卡尔集合
定义：
特别的：
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