数字信号处理1：完全掌握Matlab中的FFT
大三下半学期的时候我学习了数字信号处理这门课程，理论部分的新内容实际上并不多，基本都是继承自信号与系统这门课，但是令人迷惑的地方也还真是不少，尤其是从连续变换到离散，很多特性都有了很大的变化，我基本上学完之后还是处于比较迷糊的状态，所以就慢慢通过仿真梳理一下里面的难点，争取让自己理解的更深入。
今天先来谈一谈傅里叶变换，主要从仿真切入。这篇博客的前置知识是DFT（IDFT）、FFT（IFFT）的一些最基本的概念，主要取材于 Wireless Communication Systems in MATLAB 这本书。
一、基本公式
离散傅里叶变换中有两个最基本的公式，一个是 DFT ，另一个是 IDFT。考虑长度为 N 的时域复信号 x[n]，它通过 N 点的 DFT 就可以变成长度为 N 的频域复信号 X[k]，反过来从频域变换到时域就是 IDFT 了。 具体的公式如下：
Matlab 中采用 FFT 来实现 DFT，FFT 是 DFT 的快速算法，从数学本质上和 DFT 是没有什么区别的。
二、从时域计算频域波形
仿真中一开始让我比较迷惑的是索引，下面这张图非常清楚的说明了索引的对应问题。
从时域转换到频域， ![\small X[0]](https://sigusoft.com/wp-content/themes/justnews/themer/assets/images/lazy.png "fft变换 matlab_fft变换matlab插图9")
代表直流分量，紧接着的 个点代表的是正频率分量，接下来的 个点代表的是负频率分量。具体详细的分析通过下面的一个示例给出：
这是一个余弦函数 ，持续时间 2 秒，采样频率 320 Hz。因此上面的这张图中存在采样点 640 个，也就是 。下面进行 FFT，需要注意的是，如果输入的时域信号是一个非周期信号，那么 FFT 的长度需要不小于时域信号的长度，但是如果时域信号是一个周期信号，那么 FFT 的长度只需要比该周期信号的一个周期长即可。
FFT 的计算结果横轴是以 k 作为单位的，但我们需要得到频率值，因此这里存在一步转化，这也就是第一张图中的 部分，其中 表示采样频率，N 表示 FFT 的大小。在这个例子中
这个余弦函数的频率是 10Hz，因此如果索引从 0 开始，那么该函数索引应该位于 10/1.25 = 8，但是 Matlab 的索引是从 1 开始，因此在上面的图中该函数的频率索引位于 9 。按照上述公式的对应关系可以将索引转换到 Hz，可以在下面的图中看到，频域用 Hz 来表示确实是 10Hz。
我们在信号与系统中学到的 的频域图像应该是关于纵坐标轴对称的，因此需要将负频域部分搬移到横坐标轴的负半轴，在 Matlab 中采用 fftshift 就可以实现。
需要注意的是在完成频谱搬移后真实频率（以Hz为单位）的计算，下面默认 N 是偶数，如果 N 是奇数，那取 。
三、获得 FFT 后频域的幅值以及相位信息
由于是对复信号进行 FFT，因此在显示幅值的时候要取绝对值。同时注意使用 Matlab 进行 FFT 后，要乘以 1/N 才能得到和一开始的公式相同的幅值。
上图的结果和理论是一样的，但是在仿真的过程中有一个细节： FFT 计算完的结果有的地方应该是 0 ，但是由于浮点数的运算误差所以最终是一个非常小的数，因此就需要先做一个预处理，将应该是 0 的地方先置位为 0。
四、从频域重建时域信号
从频域重建时域信号是比较简单的，在 Matlab 中直接采用 ifft 即可。但是这里也有几个细节需要注意：如果之前进行过 fftshift，现在就要进行 ifftshift 把负频域搬回正半轴，如果之前乘过 1/N，现在就要乘上 N（要和之前进行 FFT 变换的 N 保持相同）。一定要注意重建信号的时间计算，具体看代码附录即可。
程序也附在下面：
下面对这篇文章中没有提到的一些重要问题进行了进一步的说明：hal3515：数字信号处理1：完全掌握Matlab中的FFT（补充）
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