积分电路的计算方法_可以计算积分的计算器

【工程实践保姆级教程】第12讲：从半导体电路到计算机 　　

　　不知道我的读者里面有没有Minecraft玩家。考拉自己没有玩过Minecraft，但是在高中的时候，听说有人在一个游戏中自己用积木搭出了计算器，感到不可思议。后来稍微认真的学习了一下，主要靠的是有开关特性的“红石电路”，这种模块可以起到像半导体三极管一样的开关控制功能。也就从那时起，开始对数字电路到计算机的原理产生了极大的兴趣。 　　我们今天就来讲讲，计算机是怎么“搭积木”搭出来的。计算机的本质是半导体电路，但是大家在大学以前都很难接触到这些东西，考拉帮大家梳理一下这里面的一些思路。喵星考拉：【工程实践保姆级教程】从原理看半导体放大电路 　　首先，在高中物理书里面，有提到一些基本的逻辑：

　　在这里面，我们把开关的打开和关闭作为输入，把灯泡的亮暗作为输出，也提到了最基本的逻辑关系：与、或、非。 　　在这个电路里面，开关是需要人用手去拨动的。有没有可能用电去控制电的通断？大家可能会先想到“继电器”，但是继电器结构复杂（想象一下如果一个电路需要数以亿计的继电器，那继电器就算很复杂的了），难以大规模使用；实际上现在所用的电子开关，就是昨天提到的晶体管：

　　昨天提到三极管的比例放大特性：可以用一个小电流比例控制一个大电流的流动：

　　但是比例特性一定是有限度的：阀的开口有限度，当我们给基极的电流足够大的时候，集电极和发射极之间的导通程度就不能再大了；另外集电极的电源也不允许输出无穷大的电流。在这种情况下，三极管就不当成比例件使用，而是当成电子开关使用：给基极加上电压，开关导通；基极不加电压，开关关断，这就是一个最简单的开关。两个晶体管可以组合成一个非门电路：

　　下方的这个晶体管，称为N沟道金属氧化物半导体场效应管（表示场效应管导通时导通的沟道为N型）（N-type metal–oxide–semiconductor FET，N-MOSFET，简称NMOS）。上方的这个晶体管称为P沟道MOSFET，简称PMOS。NMOS和PMOS结合在一起，叫做CMOS（Complementary metal–oxide–semiconductor互补金属氧化物半导体），玩摄影的是不是很熟悉这个词？

　　NMOS和PMOS的特性是相反的。当我们给A端加一个高电平，这个时候NMOS会导通，PMOS关断，这样Y就等于是接地了，输出低电平。当我们给A端加低电平，这时候NMOS关断，PMOS导通，Y输出高电平。 　　非门是最简单的门电路。接下来开开脑洞：用非门就可以组合成与非门和或非门：

　　中间的门电路，当A、B有一个为低，输出为高；当A、B两个都为高，输出为低。我们以“1”代表高，“0”代表低，则A、B两个都为1时输出才为0，此谓与非门。右边的门电路和中间的是相反的结构，可以推出A、B两个都为0时输出才为1，也就是说A、B只要有一个为1，输出就为0，此谓或非门。 　　与非门和或非门如果想要变成与门、或门，就在后面再接一级非门：

　　上方的这个电路就是一个或非门加一级非门变成或门。当然这里会发现与门、或门的结构比与非门、或非门的结构复杂，这也就是数电里面我们经常想要基于与非门、或非门进行设计的原因。 　　另外，这个结构是可以增加级数的。比如我们想要有ABC三个输入的与非门：

　　还有一些比较复杂的门电路：比如异或门，A和B相同输出1，A和B不同输出0：

　　到这一层，我们就实现了从半导体到门电路。门电路是逻辑电路的基本单。由于门电路是基本单，所以就不再以这么复杂的电路结构表示门电路，而是简化成一个个的符号：

　　接下来我们要来了解一下电脑数据处理的一些基本逻辑： 　　先从最简单的加法开始：我们平时学数学的数制是十进制，而计算机采用的数制是二进制，也就是满二进一。二进制的好处是刚好和电路的通/断、开关的开/闭、电平的高/低之间建立起对应关系，所以结构非常简单。 　　先来看一位数的加法： 　　一位数的加法，A+B，会产生两个结果。其中一个结果是本位，我们知道0+0=0,1+1=10(本位为0)，0+1=1。所以当A和B不同的时候，本位取1；A和B相同的时候，本位取0。这个逻辑就是刚才说的异或逻辑。接下来第二个结果是进位。我们知道只有1+1才有进位，所以这个时候进位和输入之间是与的关系，需要一个与门。

　　这个电路叫做半加器，因为没有考虑到前一位的进位，所以称为半加。如果需要考虑前一位怎么计算？这时候相当于是把这两位相加的结果再去和前一位的进位相加。这时候向前的进位有两种可能：一种是A和B相加得到的进位，一种是AB相加的结果和前一位进位相加得到的进位。我们知道两个进位至多有一个能满足（想象为什么），所以把两个半加器的进位结果进行“或”之后输出为向前的进位。这个电路就叫做全加器。



　　然后全加器也是基本单，所以也给画成了一个框：

　　一个全加器可以做一位二进制的全加。是不是听着觉得微不足道？但是把几十个全加器串联在一起，就可以做一个几十位数的全加了：

　　全加器的位数越多，一次性能计算的数据就越大。我们常说的32位、64位CPU，指的就是计算机中一次能计算的字长。32位的软件当然可以在64位硬件上跑，但是软件上只能利用到32位的部分。如果要做比较长的加法，可能就要分几次加，就会比较花时间。所以64位的软件会比32位效率要稍微高一些。 　　当然，实际的计算机不会这么简单。因为每一个全加器从输入数据到输出结果都需要时间；而每一个全加器都需要等低一位的全加器输出进位之后才能计算。64位全加器要等63次的进位结果。现在的计算机有各种各种硬件上的优化算法，但是原理上还是一样的。 　　现在加法可以做了，我们来看看减法需要怎么做。 　　这是个很有趣的问题。因为在计算机里面，我们为了加法设计了一整套电路，如果还要为减法再设计一套电路，就太麻烦了。于是研究者们“投机取巧”地用加法器实现了减法的运算。怎么做到的？考拉还记得，在上上上上古时代，考拉还在上幼儿园的时候，老师在教我们减法。比如说15-7，5减去7不够减，可以先加上7的“好朋友”3，变成18，再减去10，得到8。

　　这个教法虽然在23岁的我看来相当的弱智，但是这就真正是计算机把减法变成加法的方法。考虑一下，现在家里的时钟坏了，你换了个电池，需要调。现在是下午4点，时钟显示的是11点。最常规的方法就是往前拨7个小时，因为11-7=4。 　　但是还有另一个方法，我们可以往后拨5个小时。11+5=16，但是因为时钟是满12进一的，所以超过12的部分会自动被过滤掉，所以11+5=4。所以在时钟上加五等于减七（五加七等于十二）；同理加4等于减8，加3等于减9。想明白了吗？我们来看看计算机是怎么实现的。 　　假设我们计算机的加法器是4位加法器，这个时候是满16的部分会自动减去16.[1111代表15，1111+1=(1)0000]。也就是说满16变0。所以如果有一个数是-7，在这个系统里面就可以记为+9，那么加上（-7）就等于加上（9）。这里的9称为-7的补码。进一步地，在计算机里面，对一串的二进制数我们是会把首位作为符号位的；比如说一个八位的二进制数，如果不考虑符号，8位二进制最大值是255，其中最前面一位的1代表128。我们干脆就让这个八位数只能表示0~127之间的正数，这样的话所有正数的首位都是0。而且任何一个0~-127之间的数要取补码都会大于等于127，这样首位是1。这样的好处是在加减法上不会产生矛盾。比如说我们看看64和30的运算： 　　64==0 　　30==00011110 　　64+30当然没问题 　　0 　　+ 00011110= 0 ==94 　　接下来，64-30。64-30=64+（-30），为此要先求-30的补码。这个系统满256进一，所以-30的补码是256-30=226=128+64+32+2== 　　64-30： 0 　　+ 　　= 00==32+2=34如果是30-64呢？30-64=30+（-64），-64的补码是256-64=192== 　　00011110 　　+ 　　= 得到的数第一位为1，所以是负数，这里显示的是负数的补码222。实际的负数应该是222-256=-34. 　　弄懂了补码，接下来我们来看看乘除法。 　　实际上二进制的乘除法非常简单：乘法只是对一个数做移位和相加，触发只是对一个数的移位和相减：

　　乘法器的结构要比加法器要复杂，但是总体来说都是以规模的形式实现的：

　　这个时候会有些人想：我们高中学的各种指数、对数、三角函数，到底怎么样才能算出来？实际上计算机计算这些不能用加减乘除表示的超越函数，采用的都是用多项式逼近的办法，具体的理论知识来自于泰勒级数：

　　计算机计算这些函数，都只能计算到近似值，因为都是无限不循环小数，精度达到我们的要求就可以了。至于积分，计算机也是把连续化为离散，计算数值积分：

　　讲到这里大家就会大概明白，运算的部分，都是用电路搭出来的。计算机的CPU分为运算器和控制器。运算器主要负责的是算术运算（也就是加减乘除）和逻辑运算（也就是与或非等）。逻辑运算，就包括各种编码、解码的工作，比如把4位二进制数（可以表达0~9，A~F共15个数）转化为一个7位数码管上7个LED的开关：

　　另外CPU内会有寄存器和高速缓存（也就是大家看CPU参数里面的各级cache）。另外，显卡，也就是GPU，之所以要单独做一块芯片，是因为显卡处理的数据和CPU处理的数据类型不一样。针对处理的数据对显卡的硬件进行优化，处理速度就会更快。这一块相关的内容大家可以查阅相关资料：CPU 和 GPU 的区别是什么？ 　　除了运算，接下来很重要的内容就是存储器了。存储器其实分很多种，比如说内存和硬盘就是两大类型。硬盘是物理记录，依靠磁盘的磁粉指向来区分0或1；闪存（也就是U盘）的存储单是EEPROM，具体的原理也可以查相关资料。我们这里讲解一下简单的内存的原理。 　　硬盘相当于书柜，内存相当于书桌。当我们干活的时候，从书柜里拿出书，放到桌面上，当任务完成的时候，要清空桌面，把东西放回书柜。硬盘的内容是可以断电保存的，但是内存的内容在断电后就会丢失。内存也是由一个一个位的存储单组成的，其中一位的存储单长这样：

　　这个存储单和前面的门电路有个不一样的地方，就是它的输出和它的输入又耦合在一起。当我们的电路有一个初始状态时，如果外界不加干扰，这个初始状态（0或1）就会始终保持在电路中，直到外界对电路写入新的数据。比如现在电路中存储着一个“0”（如图），如果R、S都为0，那么这个“0”会一直锁存在电路中；如果给S端置“1”，那么电路中就会存储一个“1”。这个结构称为锁存器，是内存的基本单。但是内存有千千万万个锁存器，我们希望数据的存储和读取都是有规律有安排地进行。所以对于这个结构，需要给前面加一级：

　　加入前级之后，我们采用一个脉冲信号（计算机中称为时钟信号）发送指令。当脉冲信号置1时，R、S的信号能传入锁存器；脉冲信号置0时，R、S的信号不能传入锁存器。增加了前级的这个电路称为触发器。内存是一个个的触发器组成的。 　　但是这种触发器有一个问题：开启时间太长。如果时钟频率是1MHz（当然现在CPU要远比这个速度快），那么每个高电平脉冲是0.5us，在这段时间里面高高低低的任何信号都会导致锁存器的内容改变，实际最终取决于脉冲变低的那一刻。于是大家改了改触发器的结构，使得触发器只在时钟跳变的时候存储数据：

　　触发器起到了记忆电路状态的功能。基于触发器的电路，其输出结果不仅由当时的输入决定，也由电路里面记忆的内容决定。这种电路称为时序电路。比如最简单的，一个反转开关，可以由一个触发器组成：

　　多个开关组合起来，可以做一个分频电路。后一级脉冲的频率是前面的一半：

　　还可以做一个移位寄存器，寄存器内的数据随着脉冲而移动：

　　基于移位寄存器可以做一个循环计数器：

　　通过基本的电路件，可以实现各种各样的算数、逻辑基本功能。如果我们对一些门电路阵列赋予人工编程的功能，就可以根据使用者的需要进行编程获得所需要的功能。这种设备叫做可编程逻辑门阵列（FPGA）。FPGA一般是信工专业的同学搞的，反正我看verilog是一头雾水，还望大佬提携：



　　FPGA可以直接编程成为一种控制器。不同于Arduino、STM32等单片机，FPGA是完全基于硬件的编程，因此处理速率非常快（比如Arduino想要给输出口设置四个高电平，就需要四行digitalWrite（）函数，每行代码的执行会有一定的时间间隔；但是在FPGA编程中，就是一个开关控制四个并联输出，开关按下，四个端口同时输出，这在设计一些高速硬件的时候很重要）。以上所说的这些，就是计算机最底层用电路执行指令的原理了。这儿只是个引子，深入的知识欢迎大家学习《数字电子技术》和《计算机原理》。