二叉排序树唯一吗?_二叉排序树的构造详细图

二叉排序树唯一吗?_二叉排序树的构造详细图二叉排序(搜索树)详解前言前面介绍学习的大多是线性表相关的内容,把指针搞懂后其实也没有什么难度,规则相对是简单的,后面会讲解一些比较常见的数据结构,用多图的方式让大家更容易吸收。在数据结构与算法中,树是一个比较大的家族,

二叉排序(搜索树)详解   前言   前面介绍学习的大多是线性表相关的内容,把指针搞懂后其实也没有什么难度,规则相对是简单的,后面会讲解一些比较常见的数据结构,用多图的方式让大家更容易吸收。   在数据结构与算法中,树是一个比较大的家族,家族中有很多厉害的成员,这些成员有二叉树和多叉树(例如B+树等),而二叉树的大家族中,二叉搜索树(又称二叉排序树)是最最基础的,在这基础上才能继续拓展学习AVL(二叉平衡树)、红黑树等知识。   对于二叉排序树而言,本章重点其实现方式以及插入、删除步骤流程,我们会手写一个二叉排序树,二叉树遍历部分的内容比较多会单独详细讲解。   什么是树   树是一种数据结构,它是由n(n>=1)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。
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二叉排序树唯一吗?_二叉排序树的构造详细图   树是递归的,将树的任何一个节点以及节点下的节点都能组合成一个新的树,所以树的很多问题都是使用递归去完成。   根节点: 最上面的那个节点(root),根节点没有父节点,只有子节点(0个或多个都可以)   层数: 一般认为根节点是第1层(有的也说第0层),而树的高度就是层数最高(上图层数开始为1)节点的层数   节点关系:父节点:连接该节点的上一层节点,孩子节点: 和父节点对应,上下关系。而祖先节点是父节点的父节点(或者祖先)节点。兄弟节点:拥有同一个父节点的节点们!   节点的度: 就是节点拥有孩子节点的个数(是直接连接的孩子不是子孙).   树的度: 就是所有节点中最大 (节点的度)。同时,如果度大于0的节点是分支节点,度等于0的节点是叶子节点(没有子孙)。   相关性质:
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二叉排序树唯一吗?_二叉排序树的构造详细图   二叉树   二叉树是一树的一种,但应用比较多,所以需要深入学习,二叉树的每个节点最多只有两个子节点(但不一定非得要有两个节点)。   二叉树与度为2的树的区别:1、度为2的的树必须有三个节点以上(否则就不叫度为二了,一定要先存在),二叉树可以为空。2、二叉树的度不一定为2,比如斜树。3、二叉树有左右节点区分,而度为2的树没有左右节点的区分。   几种特殊二叉树:   满二叉树:高度为n的满二叉树有(2^n) -1个节点
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二叉排序树唯一吗?_二叉排序树的构造详细图   完全二叉树:上面一层全部满,最下一层从左到右顺序排列
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二叉排序树唯一吗?_二叉排序树的构造详细图   二叉排序树:树按照一定规则插入排序(本文详解)。   平衡二叉树:树上任意节点左子树和右子树深度差距不超过1(后文详解).   二叉树性质:   1、二叉树有用树的性质   2、非空二叉树叶子节点数=度为2的节点数+1.本来一个节点如果度为1.那么一直延续就一个叶子,但如果出现一个度为2除了延续原来的一个节点,会多出一个节点需要维系。所以到最后会多出一个叶子。   3、非空第i层最多有2^(i-1)个节点。   4、高为h的树最多有(2^h)-1个节点(等比求和)。   二叉树一般用链式存储,这样内存利用更高,但二叉树也可以用数组存储的(经常会遇到),各个节点对应的下标是可以计算出来的,就拿一个完全二叉树若从左往右,从上到下编号如图:
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二叉排序树唯一吗?_二叉排序树的构造详细图   二叉排序(搜索)树   概念   前面铺垫那么多,咱们言归正传,详细讲解并实现一个二叉排序树,二叉搜索树拥有二叉树的性质,同时有一些自己的规则:   首先要了解二叉排序树的规则:从任意节点开始,节点左侧节点值总比节点右侧值要小。   例如一个二叉排序树依次插入会形成下图顺序
二叉排序树唯一吗?_二叉排序树的构造详细图
二叉排序树唯一吗?_二叉排序树的构造详细图   构造   二叉排序树是由若干节点(node)构成的,对于node需要这些属性:left,right,和value。其中left和right是左右指针指向左右孩子子树,而value是储存的数据,这里用int 类型。   类构造为:   既然节点构造好了,那么就需要节点等其他信息构造成树,有了链表构造经验,很容易得知一棵树最主要的还是根节点。所以树的构造为:   
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二叉排序树唯一吗?_二叉排序树的构造详细图   主要方法   既然已经构造好一棵树,那么就需要实现主要的方法,因为二叉排序树中每个节点都能看作一棵树。所以我们创建方法的是时候加上节点参数(方便一些递归调用)   findmax(),findmin()   findmin()找到最小节点:   因为所有节点的最小都是往左插入,所以只需要找到最左侧的返回即可,具体实现可使用递归也可非递归while循环。   findmax()找到最大节点:   因为所有节点大的都是往右面插入,所以只需要找到最右侧的返回即可,实现方法与findmin()方法一致。   代码使用递归函数   
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二叉排序树唯一吗?_二叉排序树的构造详细图   isContains(int x)   这里的意思是查找二叉查找树中是否存在值为x的节点。   在具体实现上,根据二叉排序树左侧更小,右侧更大的性质进行往下查找,如果找到值为x的节点则返回true,如果找不到就返回false,当然实现上可以采用递归或者非递归,我这里使用非递归的方式。   insert(int x)   插入的思想和前面类似,找到自己的位置(空位置)插入。   但是具体实现上有需要注意的地方,我们要到待插入位置上一层节点,你可能会疑问为什么不直接找到最后一个空,然后将current赋值过去,这样的化current就相当于指向一个new node(x)节点,和原来树就脱离关系(原树相当于没有任何操作),所以要提前通过父节点判定是否为空找到位置,找到合适位置通过父节点的left或者right节点指向新创建的节点才能完成插入的操作。   比如说上面树插入值为51的节点。
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二叉排序树唯一吗?_二叉排序树的构造详细图   delete(int x)   删除操作算是一个相对较难理解的操作了,因为待删除的点可能在不同位置所以具体处理的方式也不同,如果是叶子即可可直接删除,有一个孩子节点用子节点替换即可,有两个子节点的就要先找到值距离待删除节点最近的点(左子树最大点或者右子树最小点),将值替换掉然后递归操作在子树中删除已经替换的节点,当然没具体分析可以看下面:   删除的节点没有子孙:   这种情况不需要考虑,直接删除即可(即可)(图中红色点均满足这种方式)。
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二叉排序树唯一吗?_二叉排序树的构造详细图   一个子节点为空:   此种情况也很容易,直接将删除点的子节点放到被删除位置即可。
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二叉排序树唯一吗?_二叉排序树的构造详细图   左右节点均不空   左右孩子节点都不为空这种情况是相对比较复杂的,因为不能直接用其中一个孩子节点替代当前节点(放不下,如果孩子节点也有两个孩子那么有一个节点无法放,例如拿下面71节点替代)
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二叉排序树唯一吗?_二叉排序树的构造详细图   如果拿19或者71节点填补。虽然可以保证部分侧大于小于该节点,但是会引起合并的混乱.比如你若用71替代23节点。那么你需要考虑三个节点之间如何处理,还要考虑他们是否满,是否有子女,这是个复杂的过程,不适合考虑。   所以,我们要分析我们要的这个点的属性:能够保证该点在这个位置仍满足二叉搜索树的性质(找到值最近的),那么子树中哪个节点满足这样的关系呢?   左子树中最右侧节点或者右子树中最左侧节点都满足,我们可以选一个节点将待删除节点值替换掉(这里替换成左子树最右侧节点)。   这个点替换之后该怎么办呢?很简单啊,二叉树用递归思路解决问题,再次调用删除函数在左子树中删除替换的节点即可。
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二叉排序树唯一吗?_二叉排序树的构造详细图   这里演示是选取左子树最大节点(最右侧)替代,当然使用右子树最小节点也能满足在这待删除的大小关系,原理一致。整个删除算法流程为:
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二叉排序树唯一吗?_二叉排序树的构造详细图   这部分操作的代码为:   完整代码   这个完整代码是笔者在大三时候写的,可能有不少疏漏或者不规范的地方,仅供学习参考,如有疏漏错误还请指正。   二叉排序树完整代码为:   结语   这里我们学习了解了树、二叉树、以及二叉搜素树,对于二叉搜素树插入查找比较容易理解,但是实现的时候要注意函数参数的引用等等。   偏有难度的是二叉树的删除,利用一个递归的思想,分类讨论待删除情况,要找到特殊情况和普通情况,递归一定程度也是问题的转化(转成自己相同问题,作用域减小)需要思考。   下面还会介绍二叉树的三序遍历(递归和非递归)和层序遍历。这些都是比较经典热门的问题需要深入了解。   文章已收录在 数据结构与算法学习仓库   如果看了本文觉得有收获欢迎 点赞、收藏、分享一波

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