1. 激活谷首页
  2. 激活谷笔记

积分运算电路实验总结_积分电路的工作原理

• 激活谷笔记

积分运算电路实验总结_积分电路的工作原理同济高等数学积分表公式推理（一）声明：本篇幅系知乎最全积分表公式推理，仅在知乎发布，严禁转载、抄袭！推导方法仅供参考。注*：强烈建议读者、网友们在PC端、平板…上进行浏览阅读，以获得更佳阅读浏览体验

同济高等数学积分表公式推理（一） 　　声明：本篇幅系知乎最全积分表公式推理，仅在知乎发布，严禁转载、抄袭！推导方法仅供参考。 　　注*：强烈建议读者、网友们在PC端、平板…上进行浏览阅读，以获得更佳阅读浏览体验。 　　注*：本系列篇幅内容适用于同济大学高等数学第六版、第七版、第八版积分表的推理。 　　创作于—-Jun 26, 2020 　　更新于—-Aug 23, 2023 　　如果对你有帮助，请不忘收藏、点赞或转发给身边需要帮助的同学。 　　为了将计算不定积分的方法体现得淋漓尽致，本人将以同济大学高等数学教材为主，对其书上附表中的147个公式进行详细的推理证明。积分推导过程系本人在草稿纸上经严密推算得出，若推导方法与其他创作者的方法有雷同之处，请谅解！ 　　由于篇幅过长，该推理过程在之后将分成五大篇幅去详细阐述，本篇幅只推理积分表前28个公式，其余公式推理部分可见本人主页或专栏。 　　在进入正文之前，首先将计算不定积分所需要的方法呈献给大家。同济高等数学积分表公式推理Mitchell Meng：高中三角函数公式推理、记忆Mitchell Meng：不定积分计算方法汇总 　　文中若有错误的地方，恳请广大读者、网友们指正，在下表示万分感谢。内容概要 　　★含有
ax+b 的积分 　　★含有
\sqrt{ax+b} 的积分 　　★含有
x^{2}\pm a^{2} 的积分 　　★含有
ax^{2}+b(a＞0) 的积分 　　★总结 　　以下内容中，不定积分计算结果”C”为常数且积分区域有意义，后续将不再阐述。 　　一、含有 ax+b 的积分 　　1.
\displaystyle \int_{}^{}\frac{dx}{ax+b}=\frac{1}{a}\int_{}^{}\frac{d(ax+b)}{ax+b} 　　
\displaystyle=\frac{1}{a}ln\left|ax+b\right|+C 　　2.
\displaystyle \int_{}^{}(ax+b)^{μ}dx 　　
\displaystyle=\frac{1}{a}\int_{}^{}(ax+b)^{μ}d(ax+b) 　　
\displaystyle=\frac{1}{a(μ+1)}(ax+b)^{μ+1}+C(
μ\ne-1) 　　3.
\displaystyle\int_{}^{}\frac{x}{ax+b}dx 　　
\displaystyle=\frac{1}{a}\int_{}^{}\frac{ax+b-b}{ax+b}dx 　　
\displaystyle=\frac{1}{a^{2}}\int_{}^{}\frac{ax+b-b}{ax+b}d(ax+b) 　　技巧：分子分母同次或异次结构一般将分子往分母形式凑 　　
\displaystyle=\frac{1}{a^{2}}\int_{}^{}(1-\frac{b}{ax+b})d(ax+b) 　　
\displaystyle=\frac{1}{a^{2}}(ax+b-bln\left|ax+b\right|)+C 　　注：本结果可将
\displaystyle\frac{b}{a^{2}}归并到常数C里面。 　　4.
\displaystyle\int_{}^{}\frac{x^{2}}{ax+b}dx=\frac{1}{a^{2}}\int_{}^{}\frac{a^{2}x^{2}}{ax+b}dx 　　
\displaystyle=\frac{1}{a^{2}}\int_{}^{}\frac{(ax+b)^{2}-2abx-b^{2}}{ax+b}dx 　　
\displaystyle=\frac{1}{a^{2}}[\int_{}^{}(ax+b)dx-2ab\int_{}^{}\frac{xdx}{ax+b}-b^{2}\int_{}^{}\frac{dx}{ax+b}] 　　
\displaystyle=\frac{1}{a^{3}}[\frac{1}{2}(ax+b)^{2}-2abx+b^{2}ln\left|ax+b\right|]+C 　　(将第三个积分结果代入即可) 　　注：本结果已将
\displaystyle-\frac{2b^{2}}{a^{3}}归并到常数C里面。 　　5.
\displaystyle\int_{}^{}\frac{dx}{x(ax+b)} 　　记
\displaystyle\frac{1}{x(ax+b)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{ax+b}, 　　按照计算留数思想求系数法则， 　　
\displaystyle A=(\frac{1}{ax+b})|_{x=0}=\frac{1}{b} 　　
\displaystyle B=(\frac{1}{x})|_{x=-\frac{b}{a}}=-\frac{a}{b} 　　原式 　　
\displaystyle=-\frac{a}{b}\int_{}^{}(\frac{1}{ax+b}-\frac{1}{ax})dx 　　
\displaystyle=-\frac{1}{b}\int_{}^{}\frac{d(ax+b)}{ax+b}+\frac{1}{b}\int_{}^{}\frac{d(ax)}{ax} 　　
\displaystyle=-\frac{1}{b }ln\left|ax+b\right|+\frac{1}{b }ln\left|ax\right|+C 　　
\displaystyle=-\frac{1}{b }ln\left|\frac{ax+b}{x}\right|+C1 　　其中
\displaystyle C1=\frac{ln\left| a \right|}{b}+C 　　6.
\displaystyle\int_{}^{}\frac{dx}{x^{2}(ax+b)} 　　记
\displaystyle\frac{1}{x^{2}(ax+b)} 　　
\displaystyle=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{ax+b} 　　按照计算留数思想求系数法则 　　
\displaystyle B=(\frac{1}{ax+b})|_{x=0}=\frac{1}{b} 　　
\displaystyle C=(\frac{1}{x^{2}})|_{x=-\frac{b}{a}}=\frac{a^{2}}{b^{2}} 　　
\displaystyle A=\frac{d}{dx}[\frac{1}{ax+b}]|_{x=0} 　　
\displaystyle=[\frac{-a}{(ax+b)^{2}}]|_{x=0}=-\frac{a}{b^{2}} 　　原式 　　
\displaystyle=\frac{1}{b}\int_{}^{}[\frac{1}{x^{2}}+\frac{a^{2}}{b(ax+b)}-\frac{a}{bx}]dx 　　
\displaystyle=\frac{1}{b}\int_{}^{}\frac{1}{x^{2}}dx+\frac{a^{2}}{b^{2}}\int_{}^{}\frac{dx}{ax+b}-\frac{a}{b^{2}}\int_{}^{}\frac{dx}{x} 　　
\displaystyle=-\frac{1}{bx}+\frac{a}{b^{2}}ln\left|{ax+b}\right|-\frac{a}{b^{2}}ln\left|{x}\right|+C 　　
\displaystyle=-\frac{1}{bx}+\frac{a}{b^{2}}ln\left|\frac{ax+b}{x}\right|+C 　　7.
\displaystyle\int_{}^{}\frac{x}{(ax+b)^{2}}dx 　　解法一： 　　原式 　　
\displaystyle=\frac{1}{a}\int_{}^{}\frac{x}{(ax+b)^{2}}d(ax+b) 　　
\displaystyle=-\frac{1}{a}\int_{}^{}xd(\frac{1}{ax+b}) 　　
\displaystyle=-\frac{1}{a}[\frac{x}{ax+b}-\int_{}^{}\frac{1}{ax+b}dx] 　　
\displaystyle=-\frac{1}{a}[\frac{x}{ax+b}-\frac{1}{a}ln\left| ax+b \right|]+C 　　
\displaystyle=\frac{1}{a^{2}}ln\left| ax+b \right|-\frac{x}{a(ax+b)}+C 　　解法二： 　　记
\displaystyle\frac{x}{(ax+b)^{2}}=\frac{A}{ax+b}+\frac{B}{(ax+b)^{2}} , 　　于是 　　
\displaystyle B=x|_{x=-\frac{b}{a}}=-\frac{b}{a} ； 　　系数A我们这样去考虑，将等式分母未知数系数变为1,于是 　　
\displaystyle\frac{\frac{x}{a^{2}}}{(x+\frac{b}{a})^{2}}=\frac{\frac{A}{a}}{x+\frac{b}{a}}+\frac{\frac{B}{a^{2}}}{(x+\frac{b}{a})^{2}} 　　当分母未知数系数为1时，我们可以用那方法求未知数A，则 　　
\displaystyle\frac{A}{a}=\frac{d}{dx}[\frac{\frac{x}{a^{2}}}{(x+\frac{b}{a})^{2}}·(x+\frac{b}{a})^{2}]|_{x=-\frac{b}{a}} 　　
\displaystyle=\frac{d}{dx}[\frac{x}{a^{2}}]|_{x=-\frac{b}{a}} 　　故
\displaystyle\frac{A}{a}=\frac{1}{a^{2}} ,
\displaystyle A=\frac{1}{a} 　　原式 　　
\displaystyle=\int_{}^{}[\frac{1}{a(ax+b)}-\frac{b}{a(ax+b)^{2}}]dx 　　
\displaystyle=\frac{1}{a}\int_{}^{}\frac{dx}{ax+b}-\frac{b}{a}\int_{}^{}\frac{dx}{(ax+b)^{2}} 　　
\displaystyle=\frac{1}{a^{2}}ln\left| ax+b\right|+\frac{b}{a^{2}}·\frac{1}{ax+b}+C 　　
\displaystyle=\frac{1}{a^{2}}(ln\left| ax+b \right|+\frac{b}{ax+b})+C 　　8.
\displaystyle\int_{}^{}\frac{x^{2}}{(ax+b)^{2}}dx 　　
\displaystyle=\int_{}^{}\frac{\frac{1}{a^{2}}(ax+b)^{2}-\frac{2bx}{a}-\frac{b^{2}}{a^{2}}}{(ax+b)^{2}}dx 　　
\displaystyle=\frac{x}{a^{2}}-\frac{2b}{a}\int_{}^{}\frac{xdx}{(ax+b)^{2}}-\frac{b^{2}}{a^{2}}\int\frac{dx}{(ax+b)^{2}} 　　
\displaystyle=\frac{1}{a^{3}}(ax-2bln\left| ax+b\right|-\frac{b^{2}}{ax+b})+C 　　注：本结果已将
\displaystyle\frac{b}{a^{3}}归并到常数C里面，后续不再说明。 　　9.
\displaystyle\int\frac{dx}{x(ax+b)^{2}} 　　记
\displaystyle\frac{1}{x(ax+b)^{2}} 　　
\displaystyle=\frac{A}{x}+\frac{B}{ax+b}+\frac {C}{(ax+b)^{2}} 　　于是 　　
\displaystyle A=[\frac{1}{(ax+b)^{2}}]|_{x=0}=\frac{1}{b^{2}} 　　
\displaystyle C=(\frac{1}{x})|_{x=-\frac{b}{a}}=-\frac{a}{b} 　　将上述等式变形，使等式左侧与待求项分母系数为1，则 　　
\displaystyle\frac{\frac{1}{a^{2}}}{x(x+\frac{b}{a})^{2}} 　　
\displaystyle=\frac{A}{x}+\frac{\frac{B}{a}}{x+\frac{b}{a}}+\frac {C}{(ax+b)^{2}} 　　故 　　
\displaystyle\frac{B}{a}=\frac{d}{dx}(\frac{\frac{1}{a^{2}}}{x})|_{x=-\frac{b}{a}}=-\frac{1}{b^{2}} 　　
\therefore \displaystyle B=-\frac{a}{b^{2}} 　　原式 　　
\displaystyle=\frac{1}{b^{2}}\int\frac{dx}{x}-\frac{a}{b^{2}}\int\frac{dx}{ax+b}-\frac{a}{b}\int\frac{dx}{(ax+b)^{2}} 　　
\displaystyle=\frac{1}{b(ax+b)}-\frac{1}{b^{2}}ln\left| ax+b \right|+\frac{ln\left| x \right|}{b^2}+C 　　
\displaystyle=\frac{1}{b(ax+b)}-\frac{1}{b^{2}}ln\left| \frac{ax+b}{x} \right|+C 　　二、含有(ax+b)½的积分 　　10.
\displaystyle\int\sqrt{ax+b}dx 　　
\displaystyle=\frac{1}{a}\int\sqrt{ax+b}d(ax+b) 　　
\displaystyle=\frac{2}{3a}\sqrt{(ax+b)^{3}}+C 　　11.
\displaystyle\int x\sqrt{ax+b}dx 　　
\displaystyle=\frac{1}{a}\int x\sqrt{ax+b}d(ax+b) 　　
\displaystyle=\frac{2}{3a}\int xd(ax+b)^{\frac{3}{2}} 　　
\displaystyle=\frac{2}{3a}[x\sqrt{(ax+b)^{3}}-\int(ax+b)^{\frac{3}{2}}dx] 　　
\displaystyle=\frac{2}{3a}x\sqrt{(ax+b)^{3}}-\frac{4}{15a^{2}}(ax+b)^{\frac{5}{2}}+C 　　
\displaystyle=\frac{2}{15a^{2}}(3ax-2b)\sqrt{(ax+b)^{3}}+C 　　12.
\displaystyle\int x^{2}\sqrt{ax+b}dx=\frac{2}{3a}\int x^{2}d(ax+b)^{\frac{3}{2}} 　　
\displaystyle=\frac{2}{3a}[x^{2}(ax+b)^{\frac{3}{2}}-2\int x(ax+b)^{\frac{3}{2}}dx] 　　
\displaystyle=\frac{2}{3a}x^{2}(ax+b)^{\frac{3}{2}}-\frac{8}{15a^{2}}\int xd (ax+b)^{\frac{5}{2}} 　　
\displaystyle=\frac{2}{3a}x^{2}(ax+b)^{\frac{3}{2}}-\frac{8}{15a^{2}} [x(ax+b)^{\frac{5}{2}}-\int(ax+b)^{\frac{5}{2}}dx] 　　
\displaystyle=\frac{2}{3a}x^{2}(ax+b)^{\frac{3}{2}}-\frac{8}{15a^{2}}x(ax+b)^{\frac{5}{2}}+\frac{16}{105a^{3}}(ax+b)^{\frac{7}{2}}+C 　　
\displaystyle=\frac{2}{105a^{3}}(15a^{2}x^{2}-12abx+8b^{2})\sqrt{(ax+b)^{3}}+C 　　13.
\displaystyle\int\frac{x}{\sqrt{ax+b}}dx 　　
\displaystyle=\frac{1}{a}\int\frac{ax+b-b}{\sqrt{ax+b}}dx 　　
\displaystyle=\frac{1}{a}\int\sqrt{ax+b}dx-\frac{b}{a^{2}}\int\frac{d(ax+b)}{\sqrt{ax+b}} 　　
\displaystyle=\frac{2}{3a^{2}}(ax+b)^{\frac{3}{2}}-\frac{2b}{a^{2}}\sqrt{ax+b}+C 　　
\displaystyle=\frac{2}{3a^{2}}(ax-2b)\sqrt{ax+b}+C 　　14.
\displaystyle\int\frac{x^{2}}{\sqrt{ax+b}}dx 　　
\displaystyle=\frac{1}{a^{2}}\int\frac{(ax+b)^{2}-2abx-b^{2}}{\sqrt{ax+b}}dx 　　
\displaystyle=\frac{1}{a^{2}}\int(ax+b)^{\frac{3}{2}}dx-\frac{2b}{a}\int\frac{x}{\sqrt{ax+b}}dx-\frac{b^{2}}{a^{2}}\int\frac{dx}{\sqrt{ax+b}} 　　带入上式13中的结果 　　
\displaystyle=\frac{2}{5a^{3}}(ax+b)^{\frac{5}{2}}-\frac{4b}{3a^{3}}(ax+b)^{\frac{1}{2}}(ax-2b)-\frac{2b^{2}}{a^{3}}(ax+b)^{\frac{1}{2}}+C 　　
\displaystyle=\frac{2}{15a^{3}}(3a^{2}x^{2}-4abx+8b^{2})\sqrt{ax+b}+C 　　15.
\displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt{ax+b}} 　　令
\displaystyle\sqrt{ax+b}=u , 　　则
\displaystyle dx=\frac{2u}{a}du 　　故原式
\displaystyle=2\int\frac{du}{u^{2}-b} , 　　这里分两种情况讨论. 　　①当
\displaystyle b＞0 时. 　　记
\displaystyle\displaystyle\frac{2}{u^{2}-b}=\frac{A}{u-\sqrt{b}}+\frac{B}{u+\sqrt{b}} , 　　
\displaystyle A=(\frac{2}{u+\sqrt{b}})|_{u=\sqrt{b}}=\frac{1}{\sqrt{b}} 　　
\displaystyle B=(\frac{2}{u-\sqrt{b}})|_{u=-\sqrt{b}}=-\frac{1}{\sqrt{b}} 　　原式 　　
\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{b}}\int(\frac{1}{u-\sqrt{b}}-\frac{1}{u+\sqrt{b}})du 　　
\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{b}}ln\left| \frac{u-\sqrt{b}}{u+\sqrt{b}} \right|+C 　　
\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{b}}ln\left| \frac{\sqrt{ax+b}-\sqrt{b}}{\sqrt{ax+b}+\sqrt{b}} \right|+C 　　②当
b＜0 时. 　　则原式 　　
\displaystyle=2\int\frac{du}{u^{2}+(\sqrt{-b})^{2}} 　　
\displaystyle=\frac{2}{\sqrt{-b}}\int\frac{d(\frac{u}{\sqrt{-b}})}{(\frac{u}{\sqrt{-b}})^{2}+1} 　　
\displaystyle=\frac{2}{\sqrt{-b}}arctan\frac{u}{\sqrt{-b}}+C 　　
\displaystyle=\frac{2}{\sqrt{-b}}arctan\sqrt{\frac{ax+b}{-b}}+C 　　16.
\displaystyle\int\frac{dx}{x^{2}\sqrt{ax+b}} 　　记
\displaystyle\frac{1}{x^{2}\sqrt{ax+b}} 　　
\displaystyle=\frac{A}{x\sqrt{ax+b}}+\frac{B\sqrt{ax+b}}{x^{2}} 　　则
Ax+B(ax+b)=1 , 　　由待定系数法得 　　
\displaystyle B=\frac{1}{b},A=-\frac{a}{b} 　　原式 　　
\displaystyle=-\frac{a}{b}\int\frac{dx}{x\sqrt{ax+b}}+\frac{1}{b}\int{}\frac{\sqrt{ax+b}}{x^{2}}dx 　　
\displaystyle=-\frac{a}{b}\int\frac{dx}{x\sqrt{ax+b}}-\frac{1}{b}\int\sqrt{ax+b}d(\frac{1}{x}) 　　
\displaystyle=-\frac{a}{b}\int\frac{dx}{x\sqrt{ax+b}}-\frac{\sqrt{ax+b}}{bx}+\frac{1}{b}\int\frac{1}{x}d(\sqrt{ax+b}) 　　
\displaystyle=-\frac{a}{b}\int\frac{dx}{x\sqrt{ax+b}}-\frac{\sqrt{ax+b}}{bx}+\frac{a}{2b}\int\frac{dx}{x\sqrt{ax+b}} 　　
\displaystyle=-\frac{\sqrt{ax+b}}{bx}-\frac{a}{2b}\int\frac{dx}{x\sqrt{ax+b}} 　　17.
\displaystyle\int\frac{\sqrt{ax+b}}{x}dx 　　令
\displaystyle \sqrt{ax+b}=u , 　　则
\displaystyle dx=\frac{2u}{a}du 　　故原式 　　
\displaystyle=2\int\frac{u^{2}}{u^{2}-b}du=2\int\frac{u^{2}-b+b}{u^{2}-b}du 　　
\displaystyle=2\int(1+\frac{b}{u^{2}-b})du 　　
\displaystyle=2u+2b\int\frac{1}{u^{2}-b}du 　　将
\displaystyle\sqrt{ax+b}=u 代入得 　　原式 　　
\displaystyle=2\sqrt{ax+b}+b\int\frac{dx}{x\sqrt{ax+b}} 　　18.
\displaystyle\int\frac{\sqrt{ax+b}}{x^{2}}dx 　　
\displaystyle=-\int\sqrt{ax+b}d(\frac{1}{x}) 　　
\displaystyle=-\frac{\sqrt{ax+b}}{x}+\int\frac{1}{x}d(\sqrt{ax+b}) 　　
\displaystyle=-\frac{\sqrt{ax+b}}{x}+\frac{a}{2}\int{\frac{dx}{x\sqrt{ax+b}}} 　　三、含有 x²±a² 的积分 　　19.
\displaystyle\int\frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\int\frac{d(\frac{x}{a})}{(\frac{x}{a})^{2}+1} 　　
\displaystyle=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C 　　20.
\displaystyle\int\frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{n}} 　　利用分部积分法使分母产生次方差， 　　原式 　　
\displaystyle=\frac{x}{(x^{2}+a^{2})^{n}}-\int xd[\frac{1}{(x^{2}+a^{2})^{n}}] 　　
\displaystyle=\frac{x}{(x^{2}+a^{2})^{n}}+2n\int\frac{x^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{n+1}}dx 　　
\displaystyle=\frac{x}{(x^{2}+a^{2})^{n}}+2n\int\frac{x^{2}+a^{2}-a^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{n+1}}dx 　　
\displaystyle=\frac{x}{(x^{2}+a^{2})^{n}}+2n\int\frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{n}}-2na^{2}\int\frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{n+1}} 　　移项可得， 　　
\displaystyle 2na^{2}\int\frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{n+1}} 　　
\displaystyle=\frac{x}{(x^{2}+a^{2})^{n}}+(2n-1)\int\frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{n}} 　　等式两边同时除以
2na^{2}得， 　　
\displaystyle\int\frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{n+1}} 　　
\displaystyle=\frac{x}{2na^{2}(x^{2}+a^{2})^{n}}+\frac{2n-1}{2na^{2}}\int\frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{n}} 　　将n换成n-1可得， 　　原式 　　
\displaystyle=\frac{x}{2(n-1)a^{2}(x^{2}+a^{2})^{n-1}}+\frac{2n-3}{2(n-1)a^{2}} \int\frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{n-1}} 　　21.
\displaystyle\int\frac{dx}{x^{2}-a^{2}} 　　记
\displaystyle\frac{1}{x^{2}-a^{2}}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x+a}， 　　按照计算留数思想求系数法则， 　　
\displaystyle A=(\frac{1}{x+a})|_{x=a}=\frac{1}{2a} 　　
\displaystyle B=(\frac{1}{x-a})|_{x=-a}=-\frac{1}{2a} 　　故原式 　　
\displaystyle=\frac{1}{2a}(\int\frac{dx}{x-a}-\int\frac{dx}{x+a}) 　　
\displaystyle=\frac{1}{2a}ln\left| \frac{x-a}{x+a} \right|+C 　　四、含有 ax²+b(a＞0) 的积分 　　22.
\displaystyle\int\frac{dx}{ax^2+b} 　　①当
b＞0 时. 　　原式 　　
\displaystyle=\frac{1}{b}\int\frac{dx}{\frac{ax^{2}}{b}+1}=\frac{1}{\sqrt{ab}}\int\frac{d(\sqrt\frac{a}{b}x)}{(\sqrt\frac{a}{b}x)^{2}+1} 　　
\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{ab}}arctan(\sqrt{\frac{a}{b}}x)+C 　　②当
b＜0 时. 　　原式 　　
\displaystyle=\int\frac{dx}{ax^{2}-(-b)} 　　
\displaystyle=\int\frac{dx}{(\sqrt{a}x)^{2}-(\sqrt{-b})^{2}} 　　根据上述21计算的结果，得, 　　原式 　　
\displaystyle=\frac{1}{2\sqrt{-ab}}ln\left| \frac{\sqrt{a}x-\sqrt{-b}}{\sqrt{a}x+\sqrt{-b}} \right|+C 　　23.
\displaystyle\int\frac{x}{ax^{2}+b}dx 　　
\displaystyle=\frac{1}{2a}\int\frac{d(ax^2+b)}{ax^2+b} 　　
\displaystyle=\frac{1}{2a}ln\left| ax^{2}+b \right|+C 　　24.
\displaystyle\int\frac{x^{2}}{ax^{2}+b}dx 　　
\displaystyle=\frac{1}{a}\int\frac{ax^2+b-b}{ax^2+b}dx 　　
\displaystyle=\frac{1}{a}\int(1-\frac{b}{ax^{2}+b})dx 　　
\displaystyle=\frac{x}{a}-\frac{b}{a}\int\frac{dx}{ax^2+b} 　　25.
\displaystyle\int\frac{dx}{x(ax^2+b)} 　　
\displaystyle=\int\frac{xdx}{x^2(ax^2+b)} 　　
\displaystyle=\frac{1}{2}\int\frac{d(x^2)}{x^2(ax^2+b)} 　　令
x^2=u， 　　则原式
\displaystyle=\frac{1}{2}\int\frac{du}{u(au+b)} 　　记
\displaystyle\frac{1}{u(au+b)}=\frac{A}{u}+\frac{B}{au+b} , 　　则 　　
\displaystyle A=(\frac{1}{au+b})|_{u=0}=\frac{1}{b} 　　
\displaystyle B=(\frac{1}{u})|_{u=-\frac{b}{a}}=-\frac{a}{b} 　　原式 　　
\displaystyle=\frac{1}{2b}[\int\frac{du}{u}-\int\frac{d(au+b)}{au+b}] 　　
\displaystyle=\frac{1}{2b}ln\left| \frac{u}{au+b} \right|+C=\frac{1}{2b}ln\frac{x^2}{\left| ax^2+b \right|}+C 　　26.
\displaystyle\int\frac{dx}{x^2(ax^2+b)} 　　记
\displaystyle\frac{1}{x^2(ax^2+b)} 　　
\displaystyle=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{Cx+D}{ax^2+b} 　　其中 　　
\displaystyle B=(\frac{1}{ax^2+b})|_{x=0}=\frac{1}{b} 　　
\displaystyle A=\frac{d}{dx}(\frac{1}{ax^2+b})|_{x=0}=0 　　对于等式有右边第三项，采取如下做法. 　　令
ax^2+b=0， 　　解得
\displaystyle x=\sqrt{\frac{b}{a}}i (i是虚数). 　　于是 　　
\displaystyle C(\sqrt{\frac{b}{a}}i)+D 　　
\displaystyle=(\frac{1}{x^2})|_{x=\sqrt{\frac{b}{a}}i}=-\frac{a}{b} 　　比较等式左右两边可得. 　　
\displaystyle C=0,D=-\frac{a}{b} 　　故原式 　　
\displaystyle=\frac{1}{b}\int\frac{dx}{x^2}-\frac{a}{b}\int\frac{dx}{ax^2+b} 　　
\displaystyle =-\frac{1}{bx}-\frac{a}{b}\int\frac{dx}{ax^2+b} 　　27.
\displaystyle\int\frac{dx}{x^3(ax^2+b)} 　　令
x^2=u,du=2xdx，则 　　原式
\displaystyle=\frac{1}{2}\int\frac{du}{u^2(au+b)} 　　记
\displaystyle\frac{1}{u^2(au+b)} 　　
\displaystyle=\frac{A}{u}+\frac{B}{u^2}+\frac{C}{au+b} 　　
\displaystyle A=\frac{d}{du}(\frac{1}{au+b})|_{u=0}=-\frac{a}{b^2} 　　
\displaystyle B=(\frac{1}{au+b})|_{u=0}=\frac{1}{b} 　　
\displaystyle C=(\frac{1}{u^2})|_{u=-\frac{b}{a}}=\frac{a^2}{b^2} 　　原式 　　
\displaystyle=\frac{a}{2b^2}\int(\frac{a}{au+b}-\frac{1}{u})du+\frac{1}{2b}\int\frac{du}{u^2} 　　
\displaystyle=\frac{a}{2b^2}ln\left| \frac{au+b}{u} \right|-\frac{1}{2bu}+C 　　
\displaystyle=\frac{a}{2b^2}ln\frac{\left| ax^2+b \right|}{x^2}-\frac{1}{2bx^2}+C 　　28.
\displaystyle\int\frac{dx}{(ax^2+b)^2} 　　
\displaystyle=\frac{1}{2a}\int\frac{d(ax^2+b)}{x(ax^2+b)^2} 　　
\displaystyle=-\frac{1}{2a}\int\frac{1}{x}d(\frac{1}{ax^2+b}) 　　
\displaystyle=-\frac{1}{2ax(ax^2+b)}-\frac{1}{2a}\int\frac{dx}{x^2(ax^2+b)} 　　代入上述26中的结果，得 　　原式 　　
\displaystyle=-\frac{1}{2ax(ax^2+b)}-\frac{1}{2a}(-\frac{1}{bx}-\frac{a}{b}\int\frac{dx}{ax^2+b}) 　　
\displaystyle=\frac{x}{2b(ax^2+b)}+\frac{1}{2b}\int\frac{dx}{ax^2+b} 　　五、总结 　　这次只更新了四个模块，主要用到的方法有凑微分法、分部积分法、换法以及留数思想法(有理函数拆分的一种方法)，至于什么是留数思想法，见下所示。Mitchell Meng：有理函数积分计算法则——留数思想法 　　由于内容太多，后面的内容将另起篇幅继续创作。 　　最后，关于积分表这147个公式，不要全部记忆(如果是”最强大脑选手”则另当别论)，掌握方法才是王道。 　　当然有几个有用的积分表公式会在本系列最后一个篇幅结尾处列出。 　　In The End. 　　Thanks for reading!

2024最新激活全家桶教程，稳定运行到2099年，请移步至置顶文章：https://sigusoft.com/99576.html

版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容， 请联系我们举报，一经查实，本站将立刻删除。 文章由激活谷谷主-小谷整理,转载请注明出处：https://sigusoft.com/63507.html

赞 (0)
0
上一篇 2024年 8月 28日
下一篇 2024年 8月 28日

相关推荐

关注微信