函数已经有了一个主体怎么求_函数已经有了一个主体怎么求导

2024年 8月 29日下午2:02 • 激活谷笔记

已知一个函数的导数，如何求取原函数？　　比如说已知一个函数的导数是√(1-x²)，求原函数　　其他答主的回答都没有从实质上解决问题，因为如果题主能问出【已已知一个函数的导数，如何求取原函数？】这样一个问题，那么告诉他【用不定积分】，或者直接解出答案，他就能看懂、学会吗？之后搜索这个题目的高数初学者们就能理解吗？　　其实这个问题的关键不在于说【应该用不定积分求原函数】，而是：不定积分是什么？怎么通过运算得到给定函数的不定积分？　　那我接下来的回答，将从这两个问题出发，进行展开讨论。　　，更新一个分部积分的例题　　，更新一个综合性例题（公式法为主）　　A）不定积分是什么？　　不定积分，在我们的教材里面有非常明确的定义：　　在区间
上,函数
f(x) 带有任意常数项的原函数称为
f(x) （或者是
f(x)dx ）在区间
上的不定积分。记作：　　
$\int f(x)dx$ 　　其中的这个
$\int_{}^{}$ 是积分号，
f(x) 是被积函数，
f(x)dx 是被积表达式
是积分变量。　　（《高等数学（第七版）》上册，同济出版社，P185）　　而我们已知常数C的导数为0，所以对于
来说，存在：　　
$\int_{}^{}f(x)dx=F(x)+C$ 　　其中，我们称
F(x) 是
f(x) 的一个原函数，
F(x)+C 是
f(x) 的原函数，或者不定积分（二者等价）。一般条件下，后面的
都是不能省略的！　　B）在已知这些条件的时候，我们应该怎么通过运算得到给定函数的不定积分？　　总结来说有三种方法：直接积分法：利用积分表换积分法：第一类和第二类积分法分部积分法：实际联系中最常使用的方法　　1）直接积分法　　首先，最简单的是利用基本积分表。

　　图片来源：基本积分表_白水的CSDN博客　　只要能够找到和上面一致的内容，就可以做出解出对应的解。　　2）换积分法　　第2种方法就是换积分法，它又分为【第一类换法】和【第二类换法】。　　第一类换法是针对被积函数中存在一个复杂的式子的情况，我们用另外一个新的变量
去换出
$\phi(x)$ 这个式子，变成对新的变量
求导。　　即，换核心思路是，令
$p=\phi(x)$ ，则有：　　
$\int_{}^{}f(\phi(x))dx=[\int_{}^{}f(p)dp]_{p=\phi(x)}$ 　　第二类换法和上一种完全相反。我们适当的把原来的变量
换成一个较为复杂的式子
$\psi(t)$ ，然后呢，把这个积分换成一个更为复杂的积分，但是相应的它对于新变量
是更好求的。　　即，换核心思路是，令　　
$x=\psi(t)$ ，则有：　　
$\int_{}^{}f(x)dx=\int_{}^{}f(\psi(t))\psi'(t)dt$ 　　在第2类换法里面，要注意我们最终求出的不定积分必须呢要
$x=\psi(t)$ 的反函
$t=\psi^{-1}(x)$ 代回去验算，为了保证这个反函数
$f(\psi(t))$ 是存在并且可导的。　　3）分部积分法　　第3种方法，也是看上去最复杂的方法，是分部积分法。但它的原理非常简单——利用了两个函数乘积的导数公式。　　因为积分运算其实就是微分运算的逆运算，所以微分运算中的运算原理在积分中也能够使用。在这个核心思想下，通过乘积导数公式的移项，对两边等式求不定积分就能得到分部积分的公式，并且还可以再次进行简写。　　分部积分核心思路：　　
$(uv)'=u'v+uv' \rightarrow uv' =(uv)'-u'v$ 　　对等式两边同时取不定积分：　　
$\int_{}^{}uv'dx =\int_{}^{}(uv)'dx-\int_{}^{}u'vdx\rightarrow\int_{}^{}uv'dx =uv-\int_{}^{}u'vdx$ 　　而通过复合函数的求导公式可知：　　
$\int_{}^{}uv'dx =\int_{}^{}udv;\int_{}^{}u'vdx =\int_{}^{}vdu$ 　　所以组合成了我们最常见的分部积分形式：　　
$\int_{}^{}udv =uv-\int_{}^{}vdu$ 　　而分部积分法也是在做题中用的最多的方法，因为相对于前两种方法来说它是更复杂的（，但其实三种方法理解之后都相当简单），而且它和换积分法结合的可能性也很多。　　，更新例题（含详解图片）

　　

　　，更新一个例题（手写版）

　　

　　以上是主要来源于课本知识，根据我个人的理解做了简化。考虑到最知乎看数学基础的同学可能不太多，以阐述思路为主，没有详细列例题。如果点赞满10我就加一个例题。

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