数字信号处理（八）—-FFT应用综述 引言：在之前的文章中，我们已经知道了如何用DFT对信号进行谱分析，以及如何用DFT实现快速的线性卷积等应用。接下来我们将更进一步接近实际，介绍DFT的快速算法！通过本文你将知道，对于离散时间信号快速得到其DFT的各种方法以及实际情况中的延伸应用，核心目的为减少计算机运算时间，提高运算效率！ 首先，我们可以想象，为什么对一个序列直接进行DFT的计算量是巨大的，从定义来看，算一个值对应的DFT就要经历很多次乘法和加法，而且这里的乘法还是复数之间的，也就是说实部虚部的分开将带来更多次计算！因此根源在于序列太长了！因此实现快速运算的核心在于，将序列分开变短，减少累加以及乘法次数，从而减少运算次数！总体上来说，主要分为：时间抽选和频率抽选！（本文最后将告诉你，为什么要有两种方式分选。） 一.时间抽选的基2FFT（DIT） 时间抽选，顾名思义就是从时域上将信号分开，分开的依据是从定义上来看的，根本在于DFT定义式中的旋转因此具有周期性和对称性。
你可以看到，这个例子为时间抽选的4点FFT，实际化简到最后，计算的次数大大降低 对于一个序列长度为2的次数的序列，首先将序列排开后奇数项和偶数项分开为两个新的短序列，然后每个短序列按照相同方式再次分解，直到最后一级只剩下两点的DFT，下面给出一个例子为8点FFT，用蝶形的方式表示：
8点长FFT蝶形图 下面对于直接进行DFT以及用FFT算法进行DFT的运算次数进行对比：
可见，FFT计算速度应提高一倍 二.频率抽选基2FFT（DIF） 频率抽选，顾名思义就是将得到的DFT分开，而输入的序列是顺序的，这一点上，它输入输出的编号是和时间抽选相反的！
下面同样用一个8点长的序列FFT蝶形图来表示频率抽选的计算过程
可见，输入是顺序0-7，输出为奇偶分解结果 可见，时间抽选和频率抽选知识对信号分开的方式不同，他们的计算量应该是一样的！对于运算速度的提升也是一样的！ 三.DIT与DIF的关系 可以看到，时间抽选是输入奇偶分解，输出顺序；频率抽选是输入顺序，输出奇偶分解。有这样的特点，在实际中，我们通常是将两种方式一起使用，前一级为频率抽选，保证输入可以顺序输入，后一级为时间抽选，保证输出可以顺序输出！
前一级为频率抽样，后一级的输入将前一级的结果进行时间抽样，得到顺序输出 四.FFT与IFFT程序的实现思路 我们已经知道FFT可快速运算得到DFT的结果，实际上，在编程时，FFT的算法同样经过变动后可以用作IFFT算法，也就是说，反变换依然快速！
可见对程序的变动不大，十分方便进行反变换 注意，改动后得到的IFFT，实现的功能是不一样的，因此对应的反变换类型发生变化：
如对时间抽选的FFT程序改动后，得到的IFFT程序为频率抽选FFT的逆变换 五.实序列DFT有效计算方法 之前研究的FFT算法中的时间序列都认为是复数形式的，那当我们遇到实序列时，如果为它补充虚部，那计算量会大大增加，因此对于实序列，我们有特殊的处理方法，一下举出两个例子用以说明：
在之前的文章中我们讲到过，序列的实部虚部与序列DFT共轭对称和共轭反对称之间的关系，利用相应关系，可以只用N点的DFT就可以计算得到两个实序列的DFT 
将实序列奇偶分解后作为实部和虚部，得到的相应的DFT再用基2时间抽选还原，得到2N长序列的顺序DFT
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