积分运算电路的工作原理_积分运算放大电路

模拟CMOS集成电路设计学习心得（3）——电路中的零极点问题　　我很早就想动笔写一篇关于零极点问题的文章——奈何本人信号与系统还没学完，所以在理解上一直很吃力。最近学完了信号与系统的前十章，才对零极点有了比较清晰的理解，于是遂有了动笔的勇气。知乎上关于零极点理解的优秀回答有很多，比如这位大佬的回答: 　　传递函数的零点、极点怎么解释，有什么用？ – 宇文青霜的回答 – 知乎 https://www.zhihu.com/question//answer/ 　　这篇回答更为清晰易懂，大家在看我写的这篇文章时可以先看看她对零极点问题的阐述。接下来我将完完全全采用信号与系统中的知识来描述电路中零极点相关的内容，所以请大家拿出手中那本尘封已久的《Signals and Systems》，适当的时候进行翻阅。　　首先我们要解决的第一个问题是：零极点是如何产生的？我们可以将整个模拟电路想成一个大大的黑盒子，只有Vin,Vout作为与外界的接口（不一定是电压，也可以是电流等等），这时可以发现，模拟电路就相当于一个系统（System）——这个系统对输入的信号进行处理，最后产生对应的输出信号。信号分为离散信号和连续信号，那么有没有一个统一的标准既可以处理连续信号，也可以处理离散信号呢？这时我们回想起在信号与系统的第二章所学到的处理信号的一个概念：卷积（convolution）。以连续信号为例，如果我们有一个输入信号
x(t) ，系统对应的脉冲响应（impulse response）是
h(t) ，那么当这个信号经过这个系统时，我们得到的输出信号
y(t ) 就是
x(t) 与
h(t) 的卷积，即：　　
$y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)*h(t-\tau)d\tau\\$ 　　这时我们采用傅里叶变换（Fourier Transform），将信号从时域(Time Domain)转换到频域（Frequency Domain）进行处理，根据傅里叶变换的性质，可以得到：　　
$Y(jw)=X(jw)H(jw)\\$ 　　其中
X(jw) 是输入信号的傅里叶变换，
Y(jw ) 是输出信号的傅里叶变换，
H(jw ) 是系统的脉冲响应的傅里叶变换，也叫做频率响应（Frequency response）。　　接下来将
X(jw) 移到等式的左边，可以得到：　　
$H(jw)=\frac{Y(jw)}{X(jw)}\\$ 　　我们把
H(jw) 叫做电路的传递函数（Transfer function）。由信号与系统的知识可知，输入信号
x(t) 的傅里叶变换
X(jw ) 在频率分布图上可以存在为值为0的点（换句话说，连续信号的傅里叶变换产生的函数可以不连续），我们把这些点叫做电路的极点（pole）；输出信号
Y(jw ) 同理，我们把这些点叫做电路的零点（zero）。　　这时我们已经明白了零点和极点是如何产生的了。需要明确的一点是：对于一个动态系统（比如电路、控制系统等），不同的输入信号会导致系统产生不同的响应。所以电路的传递函数是基于输出信号与输入信号之比而产生的定义——也就是说，传递函数存在的基础是我们用晶体管搭建的一系列电路，但是该系统如何响应则取决于输入和输出信号本身。作为系统的脉冲响应在频域上的傅里叶变换，我们可以说传递函数代表了这个系统的某些特征。　　好了，现在我们得到了传递函数这个看起来奇奇怪怪的东西，并且通过简单的数学特操作得到了零极点的基本定义，接下来就要从物理世界的角度理解零极点的现实意义了。在此之前先暂停一步，我们要先理解一下什么是复频域(Complex Frequency Domain): 　　对于一个信号，我们可以假定这个信号的频率是
$s=\sigma+jw$ 。实部和虚部分别代表什么意义呢？先别着急，让我们继续用该频率表示这个信号：　　
$x(t)=\left| A\right|e^{st}=\left|A\right|e^{{\sigma}t}e^{jwt}\\$ 　　这时我们很容易看出来了，假设先固定住
，那么
$\left|A\right|e^{\sigma{t}}$ 代表信号在该频率上的幅值（Amplitude），该幅值是一个随时间变化的函数；固定住
$\sigma$ ，那么
$e^{jw t}$ 就代表信号在时间轴上的频率分布——换句话说，在一个确定的时间
t=t_0 时，该信号在该点处的频率是
。由信号与系统的知识，我们知道信号的能量一般不会是无穷的，也就是说
$\sigma$ 一般是一个负数，
$e^{\sigma{t}}$ 就是一个随时间衰减的函数。由此得出：频率
的实部
$\sigma$ 代表该信号在时间轴上的衰减程度，虚部
代表该信号的正弦震荡。实部包含了信号的幅度有关的信息，也就是能量；虚部包含了信号频率分布有关的信息。　　接下来我们来谈谈零点和极点。有了前面复频率的知识，我们考虑拉普拉斯变换　　
$X(s)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-st}dt\\$ 　　我们知道，电路中的传递函数本质上是由在频域分析中的一系列KCL,KVL电路方程所得到的（频域分析就是将电容电感等效为阻抗，属于电路分析里的内容），也就是整个电路所有节点的电流电压可以用矩阵方程来表示：　　
$YV=I\\$ 其中Y代表导纳（admittance），这时我们对
矩阵取逆矩阵得到
$V=Y^{-1}I$ 　　
$Y^{-1}$ 等于什么呢？我们通过线性代数的知识可以得到，逆矩阵等于原矩阵的伴随矩阵除以该矩阵的行列式，即：　　
$Y^{-1}=\frac{Y^*}{\left|Y \right|}\\$ 　　当
$\left| Y \right|$ 的值为0时，我们称该矩阵不可逆，这就是电路中的极点在物理世界的来源。　　现在返回到我们的拉普拉斯变换上来。从上述分析可以看出，电路的传递函数是一个有理（rational）函数，它的分子和分母都是多项式（polynomial）。有了有理函数这个前提，这时我们加上一些附加条件——不要忘了电路大部分都是具有稳定性(Stability)和因果性（Causality）的。我们由信号与系统第十章——拉普拉斯变换的定理（因为我看的是英文教材，所以直接贴的是英文原文，见谅）：1.For a system with a rational system function,causality of the system is equivalent to the ROC being the right-half plane to the right of the rightmost pole. 2.The ROC associated with the system function for a causal system is a right-half plane.3.A causal system with rational system function
H(s) is stable if and only if all of the poles of
H(s) lie in the left half of the s-plane——i.e.,all of the poles have negative real parts4.An LTI system is stable if and only if the ROC of its system function
H(s) includes the entire jw-axis[i.e.,
$\Re{\left| s \right|}=0$ 　　ROC（Range of Convergence）即函数的收敛区间。定理1、2表明了因果性的前提——复频域的取值必须是在右平面（注意，此处的右平面指的是可以向右无限延伸，不是必须全部位于右半平面），且向右眼延伸到最远的极点后终止（当分子和分母最高阶数不同时，如分子
阶，分母
阶，阶数少的那部分将在无穷远处存在极点（零点），其个数等于
$\left| M-N \right|$ ）。定理3表明对于一个LTI系统，为满足其稳定性，必须保证在s平面上复频率的取值包含整条虚轴，且所有极点均位于虚轴左侧，即：

找不到电子版只能自己拍照了，大家凑活着看　　这同时也给出了负频率的来源。由此我们完整的推出了极点的意义——它会造成电路的不稳定，非因果性，因此在设计电路时我们常常需要避开极点。或者可以说，电路本身带有的极点决定了我们的频率范围，这个范围也被叫做带宽（bandwidth）。对于零点的讨论，以及零极点之间一些非常有趣的特性（如零极点的距离远近会影响电路的速度快慢）、有关的波特图变换、传递函数背后的电路拓扑（如反馈图）等等，大家可以参考奥本海姆的《信号与系统》中的第八、九、十章，再看一遍定能收获满满。　　本人水平有限，若有相关错误，还请大神们指正

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