余弦相似度 1.公式 对于两个向量
可以用其夹角余弦表示其近似的程度（公式如下）： 两个向量夹角余弦值就是两个向量的余弦相似度。 该公式直接来源于内积的定义。 分子为两个向量内积，分母为两个向量模（长度）的积。通过公式，可以直观的认为其一定程度上消除了向量长度的影响，余弦相似度体现的是方向的差异。（欧氏距离体现的是距离差异） 当夹角为0，两个向量同向，相当于相似度最高，余弦值为1 当夹角90°，两个向量垂直，余弦为0。 当夹角180°，两个向量反向，余弦为-1 2.用途 余弦相似度被大量用于对比：如人脸对比、声音对比，来快速判断两个图片或者两段声音的相似度，进而判断是不是来自同一个人。 当一个图像或者声音样本具有n维的特征，我们就可以把他认为是n维向量，两个样本使用余弦相似度比对时，就是对两个n维向量的夹角余弦值，其大小进行衡量。 特别的，当我们拥有一个训练完成的分类神经网络，理论上这个神经网络在最后一层全连接层的输入，就是神经网络提取的特征（因为最后一层全连接层借由这些数据完成了分类任务）。 余弦相似度而非算法，求出余弦相似度后，到底阈值如何界定（值大于多少认为是样本来自同一类），往往需要依次用不同的阈值数值对全部数据集进行测试，挑选效果最好的数值作为阈值 尽管余弦相似度用法类似欧氏距离（欧氏距离也可以用于比对：把n维特征认为是n维空间的一个点，当两个样本对应的点，距离足够近认为认为来自同一类），但余弦相似度并不符合距离定义。 余弦相似度范围[-1,1]包含负值，不便于使用，改进方法有：将余弦相似度用于正空间，对于各个维度均为正的向量，可以保证余弦相似度非负（该空间的夹角被限定在0-90，或者根据公式，内积恒为正）。用1减余弦相似度，此时结果范围为[0,2]，且值越小表示越接近（类似欧氏距离）。 3.示例 例如鸢尾花数据集的四种特征，我们可以把每个样本认为是四维空间的一个点，每个样本的四个特征分别是这四个维度的坐标。 下图为散点图，四个特征中仅使用petal length，petal width两个特征作图（分别横纵坐标，二维的便于观察）
在此基础上，我们从原点起，向每个样本点引一个有向线段，这就把每个样本转换成一个四维空间的向量，余弦相似度就是两个向量间的夹角余弦值。本例中特征为长度，余弦相似度不会有负值。 为避免箭头太多混乱，挑选1个setosa样本（蓝箭头）与2个virginia样本（绿箭头），查看同类样本、不同类样本之间的夹角（夹角越小，余弦值越大）。
在本例中可以发现，同类的绿色向量间，夹角更小，相似度高；不同类的蓝绿向量之间，夹角大，相似度低。 实际上，通过观察散点图，可以发现鸢尾花数据集并不特别适合使用余弦相似度，理论上应当同类型花的各样本向量夹角小，不同类夹角大；但很多不同类的样本向量夹角也很小，不利于根据余弦相似度大小区分是否同类。 这是因为余弦相似度的是方向，一定程度上忽略了距离的影响，但花朵的长度参数petal length，petal width会极大的影响花的分类，不应进行忽略。 4.代码 余弦相似度计算代码（定义后可以直接调用，a,b为n维的array类数据特征） 鸢尾花数据集作图代码（需要事先安装scikit-learn库，通过安装） 挑选部分样本计算余弦相似度 5.算法 一个简单的对比算法，对余弦相似度用阈值判断：对任意两个样本，计算余弦相似度，如果超过该阈值认为是同一类，否则认为是不同类。 下面是通过遍历确定阈值的方法： 运行结果（横轴为阈值，纵轴为选取该阈值进行判断的准确率）
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