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微分电路和积分电路的作用_RC积分电路

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微分电路和积分电路的作用_RC积分电路数值计算（02）：常见的数值积分公式（C++实现）本节将利用C++实现数值积分中的复化梯形求积公式以及复化Simpson求积公式。1、数值积分的基本概念定积分的定义为：由定积分的定义可以很自然地想到定积分的值可以利用被积函数 在积分区

数值计算（02）：常见的数值积分公式（C++实现） 　　本节将利用C++实现数值积分中的复化梯形求积公式以及复化Simpson求积公式。 　　1、数值积分的基本概念 　　定积分的定义为： 　　
\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{|\triangle x_i|\to 0}\sum_{i=0}^{n-1}{f(x_i)\triangle x_i}\\由定积分的定义可以很自然地想到定积分的值可以利用被积函数
f(x) 在积分区间
[a,b] 上的一些离散节点
x_i 处的函数值
f(x_i) 的线性组合来近似。即有： 　　
\int_{a}^{b}f(x)dx\approx\sum_{i=0}^{n-1}{f(x_i)A_i}\\上式便为求积公式的一般形式，其中
x_i 被称为求积节点，
A_i 为求积系数。 　　一个数值积分公式由它的求积节点和求积系数唯一确定。 　　2、常见的数值积分公式 　　2.1、左矩形求积公式 　　左矩形积分公式的求积节点取在积分区间的左端点处为
a ，而求积系数则取为积分区间的宽度
b-a 。其计算公式如下 　　
\int_{a}^{b}f(x)dx\approx(b-a)f(a)\\
微分电路和积分电路的作用_RC积分电路
微分电路和积分电路的作用_RC积分电路图1：左矩形积分示意图 　　2.2、右矩形求积公式 　　右矩形积分公式的求积节点则取在积分区间的右端点处为
b ，求积系数同样取积分区间的宽度
b-a 。其计算公式如下 　　
\int_{a}^{b}f(x)dx\approx(b-a)f(b)\\
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微分电路和积分电路的作用_RC积分电路图2：右矩形求积示意图 　　2.3、中点求积公式 　　中点积分公式的求积节点取在积分区间的中点处为
\frac{a+b}{2} ，而求积系数则取为积分区间的宽度
b-a 。则计算公式如下： 　　
\int_{a}^{b}f(x)dx\approx(b-a)f(\frac{a+b}{2})\\
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微分电路和积分电路的作用_RC积分电路图3：中点积分几何示意图 　　2.4、梯形求积公式 　　梯形积分公式有两个求积节点，其分别取在积分区间的两端
a,b 处，而两个求积系数均为积分区间的一半宽度
\frac{b-a}{2} 。其计算公式如下： 　　
\int_a^bf(x)dx\approx\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]\\
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微分电路和积分电路的作用_RC积分电路图4：梯形积分几何示意图 　　2.5、Simpson求积公式（抛物线公式） 　　Simpson积分公式有三个求积节点，其分别取在积分区间的两端
a,b 以及中点
\frac{b+a}{2} 处。其计算公式如下： 　　
\int_a^bf(x)dx\approx\frac{b-a}{6}[f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b)]\\ 　　3、复化求积公式 　　3.1、复化求积的基本概念 　　对于前面提及的数值积分公式，其在积分区间较大时精度往往较低。因此为了改善上述求积公式的精度，通常采用复化求积公式即： 　　将积分区间
[a,b] 等分为
n 个小区间，其等分节点为： 　　
x_i=a+ih，\ \ \ \ \ \ \ i=0,1\cdot\cdot\cdot,n\ \ \ \ \ \ \ \ \ h=\frac{b-a}{n}\\再由定积分的可加性可得： 　　
\int_a^bf(x)dx=\sum_{i=0}^{n-1}{\int_{x_{i}}^{x_{i+1}} f(x)dx}\\简而言之，复化求积公式指的就是将一个原始区间划分为
n 个小区间，然后在每个小区间上再分别使用求积公式。即： 　　
\int_a^bf(x)dx=\sum_{i=0}^{n-1}{\int_{x_{i}}^{x_{i+1}} f(x)dx}\approx\sum_{i=0}^{n-1}(\ \sum_{i=0}^{m-1}{f(x_j)A_j}\ )\\ 　　3.2、复化梯形求积公式 　　复化梯形公式指的是在每个小区间
[x_{i},x_{i+1}] 上采用梯形求积公式对其进行数值积分。计算公式为： 　　
\int_a^bf(x)dx=\sum_{i=0}^{n-1}{\int_{x_{i}}^{x_{i+1}} f(x)dx}\approx \sum_{i=0}^{n-1}{\frac{h}{2}[f(x_{i})+f(x_{i+1})]}\\可以进一步整理得到： 　　
\int_a^bf(x)dx\approx \frac{h}{2}[f(a)+2\sum_{i=1}^{n-1}{f(x_i)}+f(b)]\\C++实现：以求解定积分
\int_0^1\frac{sin(x)}{x}dx 为例。 　　3.3、复化Simpson求积公式 　　复化Simpson公式指的是在每个小区间
[x_{i},x_{i+1}] 上采用Simpson求积公式对其进行计算。计分公式为：
\int_a^bf(x)dx=\sum_{i=0}^{n-1}{\int_{x_{i}}^{x_{i+1}} f(x)dx}\approx\sum_{i=0}^{n-1}{\frac{h}{6}[f(x_{i})+4f(x_{i+\frac{1}{2}})+f(x_{i+1})]}\\进一步整理得到： 　　
\int_a^bf(x)dx\approx\frac{h}{6}[f(a)+4\sum_{i=0}^{n-1}{f(x_{i+\frac{1}{2}})}+2\sum_{i=1}^{n-1}{f(x_i)}+f(b)]\\其中，
x_{i+\frac{1}{2}} 为每个小区间的中点即： 　　
x_{i+\frac{1}{2}}=a+(i+\frac{1}{2})h\\ C++实现： 　　同时也可以使用类来实现两种求积公式的封装： 　　下一节将更新非线性方程的迭代解法。 　　总结不易，喜欢的同学可以点点赞、我，我会持续更新。谢谢！

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