积分电路的波形图_微分电路波形

硬件狗教你学电路【二】：电路分析方法 　　【硬件狗持续更新，两小时带你学完电路！】 　　目录： 　　一、电路模型与定理参考：邱关源《电路》第五版 章节【一】【二】【四】【五】 　　二、电路分析方法参考：邱关源《电路》第五版 章节【三】【十五】【十六】 　　三、电路动态分析方法参考：邱关源《电路》第五版 章节【六】【七】【十四】 　　四、正弦电路分析参考：邱关源《电路》第五版 章节【八】【九】【十】【十一】【十二】【十三】 　　五、非线性电路与均匀传输线参考：邱关源《电路》第五版 章节【十七】【十八】 　　上节回顾：硬件狗教你学电路【一】中我们解读了各种电路数学化的定理与建模的一般方法，通过该方法我们可以将电路里面的物理件转化为我们需要分析的数学问题，从而通过数学的语言来描述电路的状态，而不考虑其中的物理现象，真正实现“透过现象看本质”。 　　电路的组成主要包含两个要素：件和拓扑。本章的主要内容为分析电路的一般性方法 　　二、电路分析方法 　　对于一个电路而言，我们需要抽丝剥茧形成最简单的电路图，忽略电路各器件的组成，由最纯粹的节点和支路组成。在一般的教学过程中对电路的图一般解读不多，这就导致后面什么节点电压法，回路电流法，网孔电流法学得云里雾里，本篇文章中将重点解读下“电路的图”，对这些基本的图论有一定了解后面的方法自然就能够很好的理解了。总体的思路是：将具体问题抽象化（电路拓扑）以提高理解维度，然后再降低为低维度（电路支路）问题，从而对复杂电路进行一般性分析。这也是电路课程学习的主要意义：掌握一般性方法！ 　　0、电路的图与树的概念 　　随着电路复杂度的提升，我们需要总结出一般性的电路分析方法，这里面涉及到大量的“图论”和“拓扑学”的相关知识，本文不展开讨论，但是了解其基本概念还是有利于我们对电路进行分析。对于一个电路而言需要将其电路的转化成如下的“抽象图”，称为电路的图，这种图包含了电路里面关键的两个信息：节点和支路。

电路的简化 　　对于一个电阻电路而言，两个节点之间的电路称为一条支路，每条支路拥有两个约束量：电压和电流，求解出每条支路的电压和电流即能够求解出整个电路的结果。比如对于一个电路，有n个节点，b条支路（支路数和节点数无关），该电路有2b（电压和电流）个未知量需要求取，如果能够列出2b个独立的方程组即能够完整地描述出电路状态。 　　那么重点问题是我们描述这个电路的方程应该怎么列？ 　　1、 电路分析的方程解法 　　通过图论的分析，可以得到以下几个基本的规律： 　　对于电路中的n 个节点而言，在任意（n-1）个节点上可以得出（n-1）个独立方程数 　　对于电路中的回路列KVL可以得到b-(n-1)个独立方程数 　　对于电路中的支路可以根据VCR关系得到b个方程 　　因此，以上是一般性的方法获得2b个独立方程数，简称2b法 　　那么我们在分析电路的时候如何进行这些方程的选取呢？ 　　KCL方程很好列，任意选取(n-1)个节点即可得出KCL方程。这里因为将n个节点看做一个“大节点”那么其广义节点的电流和为零，因此只能获得(n-1)相互独立的KCL方程。 　　那么如何选取独立的KVL的回路进行列方程呢？对于一个电路而言，找到独立的回路数，是有一般方法的： 　　1、先在电路中找一个“树”（连通，包含所有节点，不含闭合路径），可以证明一个树包含的支路数为（n-1），那么剩下的支路数就是b-(n-1) 　　2、对于选定的“树”，再添加一条支路必然构成一个闭合回路（包含该支路），那么可以对该闭合回路列出其KVL方程，那么可以得到b-（n-1）个KVL方程，并且可以证明这些方程是相互独立的。 　　3、剩下添加进去VCR关系方程即可列出所有的电路方程

电路拓扑中“树”的选取 　　通过以上的方法所获得KVL独立方程的方法，称为“支路电流法” 　　注意：支路电流法存在一种特殊的情况–网孔电流法，网孔电流法的适用范围仅适用于“平面电路”，也即是不能存在节点以外支路交叉的情况，网孔电流也是支路电流的一种特殊情况，因此不难看出网孔电流的个数为b-(n-1)。 　　支路电流法，网孔电流法，节点电压法，为一般的电路分析方法，在我们对一个电路进行方程选取过程中，通过对电路的观察尽可能多的获得已知量，从而简化方程复杂度，以下为一些常用的方程选取的一般性原则： 　　1、支路为独立电流源/电压源可以直接确定该条支路的电流/电压结果 　　2、选取合适的0电压参考点可以大大简化方程的复杂度 　　3、对于“平面电路”可以直接利用网孔电流法，而无需找“树”和“枝干” 　　当然，最最重要的是灵活应用基尔霍夫定律！！通过在电路图上局部列写基尔霍夫方程尽可能多的确定电路参数，对于不是太过复杂电路可以很快得出结果，但是因为由于没有进行独立方程的区分，可能会列出非独立的方程，使得局部电路方程无解，这样需要寻找更多非关联的信息来求取电路方程。 　　2、电路的矩阵形式 　　学过《线性代数》的我们知道，方程组的形式可以等效为矩阵的形式，将系数矩阵
和参数矩阵
相乘可以直接获得方程组的形式，通过矩阵运算实现方程组求解是多变量系统问题的最佳选择。随着电路的复杂度的提高，我们通过“列方程”的方法已经不能满足我们对电路问题的求解了，尤其是对相互包含和耦合的复杂电路拓扑，这时候我们需要借助计算机（CAE）的能力来帮助我们求取电路结果。矩阵描述电路称为了电路CAE科学发展的基石，这里我们有必要对其一些基本的思想做一些了解。 　　我们之前讨论了一些节点和支路的关系，结合KVL和KCL：n个节点的电路自由度为(n-1) 　　这也是我们使用拓扑图分析电路问题基础，这样我们只要找出(n-1)一个方程就能求解出这个电路的所有变量，当然支路上的VCR方程是显而易见的。 　　对于一个电阻电路而言，两个节点之间的电路称为一条支路，每条支路拥有两个约束量：电压和电流。求解出每条支路的电压和电流即能够求解出整个电路的，比如对于一个电路而言有n个节点，b条支路（支路数和节点数无关）。因此，对于一个电路而言有2b（电压和电流）个未知量需要求取，如果能够列出2b个独立的方程组即能够完整地描述出电路状态。 　　那么现在去掉一些显而易见的VCR方程，就成为了求取b条支路的电压，或者电流。 　　想想节点电压有n个，其中一个可以自由定义为参考电压“零”，那么求取出n-1个节点电压就能进而求出所有支路的电压（节点间的差值），好了至此我们需要求解的最小未知量为(n-1)这也是之前为什么说n个节点的电路自由度为(n-1)。那么，另一方面我如果以每条支路上电流为待求量，那么就有b-(n-1)个自由变量，因为有（n-1）个KCL方程约束了关联性。 　　2-1 关联矩阵 　　我们将每个支路定义一个方向，对于一个节点而言，定义流出节点记为（+1），流入节点记为（-1）。那么就可以通过一个矩阵的形式得到这个电路的关联关系，这个矩阵称为“关联矩阵”，记这个关联矩阵为A，这是一个b*n的矩阵，将该矩阵乘以支路电流序列就等于写出了KCL的矩阵形式[ A ][ i ]= 0。考察这个矩阵可以发现该矩阵的“秩”为n-1，可以设定任意一个节点为参考节点，求出剩余节点即可。矩阵形式的KVL: [ A]T[ un ]= [u]；矩阵形式的KCL: [ A ][ i ]= 0；

关联矩阵 　　2-2 回路矩阵 　　同样的我们以回路作为行，可以得到相应的回路矩阵，回路矩阵的获得需要获得“独立回路”。而“独立回路”可以通过“树干”和“连枝”进行确定，下图做可以设定“树干”为2、6、5，剩余的3,、4、1“连枝”可以构成三个独立回路。矩阵形式的KVL：[ B ][ u ]= 0；矩阵形式的KCL： [ B ]T[ il ]=[ i ]。

回路矩阵 　　2-3 割集和割集矩阵 　　如果我们将寻找“回路”的过程反过来：使用一个“树干”和“若干连枝”，可以获得一个将拓扑图一分为二的机会，并且放回任何一条“支路”，就能将图联通，那么将这些支路构成的集合，可以称为“割集”。这样的额割集也被称为“基本割集”，可以确定割集的个数也是n-1。矩阵形式的KVL：[ Qf ]T[ut ]=[u]；矩阵形式的KCL：[ Qf ][i ]=0

割集矩阵 　　以上三个矩阵从三个方面对电路进行了描述，通过矩阵方程的约束，获得电路方程的求解。同样的三个矩阵可以通过矩阵变换进行转化得到，三个矩阵的关系如下：

　　3、番外：二端口网络 　　关于二端口，其实更应该放在一、电路模型与定理 之后进行讲解，但是二端口的分析又和矩阵扯上关系，因此放在本章的最后，有点勉强，各位姑且阅之。 　　先看以下二端口是怎么由来的，先看如下两个定义： 　　端口：端口由一对端钮构成，且满足如下端口条件：从一个端钮流入的电流等于从另一个端钮流出的电流。 　　二端口：当一个电路与外部电路通过两个端口连接时称此电路为二端口网络。 　　如下图所示，对于一个端口而言，其流入的电流和流出的电流必须相等，左图为一端口电路，中图为二端口电路，而三图不能称为“端口”，我们只能称为“四端电路”。

一端口电路，二端口电路和四端电路 　　二端口电路其实是“黑盒电路”的一种，我们不知道端口内部的电路是什么样子的，但是通过端口可以等效出来，当然这里面有个前提条件就是这个网路必须使“线性时不变系统”。 　　3-1 Y参数方程 　　在如下图的二端口的电路中，根据叠加定理可以写出右边的方程用来描述该电路。同样的，我们通过改变U1，U2，I1，I2的外部激励就可以得到这样的几个相互独立的方程，从而求解出电路的Y参数（Y11，Y12，Y21，Y22）。这样我们在不需要了解电路内部结构的情况下就可以对电路进行描述，这其实也是电路基本原理的推论结果。 　　如果将U1=U2，得到I1=I2 ，Y12=Y21，那么我们可以称这个二端口为互易二端口，互易二端口的四个参数中只有三个独立参数；更进一步，如果同时满足了Y11=Y22，那么这就是一个对称二端口，对称二端口是指两个端口电气特性上对称。

Y参数方程 　　3-2 Z参数方程 　　同样的，将Y参数方程中的I和U进行对偶交换，可以得到如下Z参数方程，并且满足
。但是这里需要注意的是，Z参数和Y参数不一定存在，也即是通过外部的约束不能完全描述内部的结构，方程无解，这个需要根据具体电路进行分析。

Z参数方程 　　3-3 T参数方程和H参数方程 　　在一些电路分析过程中，我们可以将一个参数作为“激励”，一个参数作为“响应”，那么可以得到如下T参数方程，如果将两个参数混合进行对调可以得到相应的H参数方程，也称为混合参数方程。

T参数方程

H参数方程 　　3-4 二端口的连接 　　二端口作为基本的电路单可以应用到大量的电路分析场景，并且可以根据需要将电路拆分成不同的二端口进行分析，由此我们需要对不同的二端口拓扑运算进行总结归纳。如下所示，通过级联、并联和串联的基本运算可以对大型的电路拓扑进行有效的化简处理。

二端口的级联

二端口的并联

二端口的串联 　　小结：本文介绍了电路拓扑的基本概念以及相应的分析方法，通过基本的分析方法将复杂的电路进行模型化、数学化、方程化，从而将物理问题转化为数学问题，这些基本的分析方法构成了电路分析理论的基础。 　　参考章节【三】【十五】【十六】 　　申明：知乎首发，如需转载，请注明：知乎 @硬件狗 　　已开通电路研习社，欢迎加入！ 　　链接加入群聊【硬件狗教你学电路】：电路研习社