繁星数学随想录·笔记卷
积分卷
三角积分白银代换
一、三角齐次代换（Basic）
sin 2 x = sin 2 x sin 2 x + cos 2 x = tan 2 x tan 2 x + 1 cos 2 x = cos 2 x sin 2 x + cos 2 x = 1 tan 2 x + 1 \begin{aligned} & \sin^2x =\frac{\sin^2 x}{\sin^2 x+\cos^2 x}=\frac{\tan^2 x}{\tan^2 x+1} \\ & \cos^2x =\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x+\cos^2 x}=\frac{1}{\tan^2 x+1} \end{aligned} sin2x=sin2x+cos2xsin2x=tan2x+1tan2xcos2x=sin2x+cos2xcos2x=tan2x+11
二、三角齐次代换（Pro）
sec 2 x = 1 cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = tan 2 x + 1 sin x cos x = sin x cos x sin 2 x + cos 2 x = tan x tan 2 x + 1 \begin{aligned} & \sec^2x =\frac{1}{\cos^2x}=\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\cos^2x}=\tan^2 x+1 \\ & \sin x \cos x=\frac{\sin x \cos x}{\sin^2 x+\cos^2 x}=\frac{\tan x}{\tan^2 x+1} \end{aligned} sec2x=cos2x1=cos2xsin2x+cos2x=tan2x+1sinxcosx=sin2x+cos2xsinxcosx=tan2x+1tanx
三、三角白银代换
( tan x ) ′ = sec 2 x = 1 cos 2 x = tan 2 x + 1 \begin{aligned} & (\tan x)’=\sec^2x =\frac{1}{\cos^2x}=\tan^2x+1 \end{aligned} (tanx)′=sec2x=cos2x1=tan2x+1
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