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求原函数方法_求原函数方法

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求原函数方法_求原函数方法

目录

原函数的概念

不定积分

定义

不定积分的基本积分公式

不定积分的运算法则

求原函数的两种常用方法 

第一换法（凑微分法）

第二换法

分部积分法

有理函数原函数求法

典型三角函数原函数求法

原函数的概念

设f(x)在区间I上有定义，若存在函数F(x),对任意x\in I，都有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx.

则称F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数。

例：由(\frac{x^3}{3})'=x^2，知\frac{x^3}{3}是x^2在\left (- \infty,+\infty \right )上的一个原函数；

由(sinx)'=cosx，知sinx是cosx在\left (- \infty,+\infty \right )上的一个原函数。

因为：(sinx+1)'=cosx,(sinx+10)'=cosx......（原函数可以有无数个）

所以：原函数可以表达为sinx+C

不定积分

定义

函数f(x)的全体函数F(x)+C称为f(x)的不定积分，记作\int f(x)dx，即

\int f(x)dx=F(x)+C

其中，“\int”表示积分号，f(x)为被积函数，f(x)dx为被积表达式，x为积分变量，C为积分常数。

不定积分的基本积分公式

求原函数方法_求原函数方法

不定积分的运算法则

（1）被积函数中不为0的常数因子可以提出来：

\int kf(x)dx=k\int f(x)dx\: \: (k\neq 0)

（2）两个函数代数和的不定积分等于这两个函数不定积分的代数和

\int [f_1(x)\pm f_2(x)]dx=\int f_1(x)dx\pm \int f_2(x)dx

求原函数的两种常用方法 

第一换法（凑微分法）

例：\int sin^2x\, cosxdx

一、找到复合函数

(sinx)^2

二、由d(sinx)=sin'x\cdot dx=cosx\cdot dx

\int (sinx)^2\cdot d(sinx)

三、换，令u=sinx

\int u^2du

四、求出来后回代

\int u^2du=\frac{1}{3}u^3+C=\frac{1}{3}(sinx)^3+C

要熟练应用第一换法，需要有效地凑出：

 f[\varphi (x)]\varphi '(x)dx=f(u)du

第二换法

例：\int \frac{1}{1+\sqrt{x}}dx

令\sqrt{x}=t，则x=t^2,dx=2tdt。

\begin{matrix} \therefore \int \frac{1}{1+\sqrt{x}}dx &= &\int \frac{1}{1+t}2tdt\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ &= &2\int \frac{t}{1+t}dt\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ &= &2t+2\ln \left | 1+t \right |+C\: \: \: \: \: \: \: \:\: \\ &= &2\sqrt{x} -2 \ln\left | 1+\sqrt{x} \right |+C \end{matrix}

第二换法积分公式：\int f(x)dx=G[\varphi^{-1}(x) ]+C

第二换法的三角换法

\begin{matrix} \textbf{a}.sin^2t+cos^2t=1\\ \textbf{b}.1+tan^2t=sec^2t\\ \textbf{c}.1+cot^2t=csc^2t \end{matrix}

当被积函数中含\sqrt{a^2-x^2}时，设x=asint\: \: \: (-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2})

当被积函数中含\sqrt{a^2+x^2}时，设x=atant\: \: \: (-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2})

当被积函数中含\sqrt{x^2-a^2}时，设x=asect\: \: \: (0<t<\frac{\pi}{2})

分部积分法

(uv)'=u'v+uv'两边同时积分

\int (uv)'dx=\int u'vdx+\int uv'dx

uv=\int vdu+\int udv

于是，得到分部积分公式：\int udv=uv-\int vdu

例：\int x\cdot sinxdx

\int x\cdot sinxdx=\int x\cdot d(-cosx)=-xcosx-\int -cosxdx=-xcosx+sinx+C

特殊题型\int e^xsinxdx

\begin{matrix} & &\int e^xsinxdx\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ &= &-e^xcosx-\int -cosxd(e^x) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ &= &-e^xcosx+e^xsinx-\int sinxd(e^x) \\ &= &-e^xcosx+e^xsinx-\int e^xsinxdx \end{matrix}

移到等式左边

2\int e^xsinxdx=-e^xcos+e^xsinx

需要对左式再进行分部积分。

有理函数原函数求法

求原函数方法_求原函数方法

 求原函数方法_求原函数方法

典型三角函数原函数求法

求原函数方法_求原函数方法

求原函数方法_求原函数方法 

 

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