收敛数列的性质_收敛数列和数列收敛一样吗

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定义1.1：

设{
$a_{n}$ }。是一个数列, a是一个实数, 如果对于任意给定的 $\varepsilon>0$ ，存在一个 $\in \mathbf{N}^{*}$ ，使得凡是n>N时都有
$\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon$
,
就说数列{
$a_{n}$ }，当n趋向无穷大时以a为极限，记成
$\lim _{x \rightarrow \infty} a_{n}=a$
也可以简记为 $a_{n} \rightarrow a(n \rightarrow \infty)$ .我们也说数列{
$a_{n}$ }收缴于a.存在极限的数列称为收敛数列. 不收敛的数列称为发散数列.

定义1.2：

数列{
$a_{n}$ }：当 $\rightarrow \infty$ 时收敛于实数 a 是指：对任意的 $\varepsilon>0$ ，总存在 $\in \mathbf{N}^{*}$ ，使得这数列中除有限多项 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 可能是例外，其他的项均落在a的 $\varepsilon$ -邻域中.（我们称关于a对称的开区间 $(\alpha-\varepsilon, \alpha+\varepsilon)$ 为a的 $\varepsilon$ -邻域）。

定理1.1：

如果数列{
$a_{n}$ }收敛，则它只有一个极限，也就是说，收敛数列的极限是惟一的.

定义1.3：

设{
$a_{n}$ }是一个数列，如果存在一个实数A，使得 $a_{n} \leqslant A$ 对一切 $\in \mathbf{N}^{*}$ 成立，则称{
$a_{n}$ }是有上界的，A是这数列的一个上界.
类似地，可以定义有下界的数列.
如果数列{
$a_{n}$ }既有下界又有上界，则称它是一个有界数列。
非常明显的是，数列{
$a_{n}$ }是有界数列必须且只须它的各项全都包含在同一个有限的区间之内.

定理1.2：

收敛数列必是有界的。

证明：当n>N时有 $\left|a_{n}-a\right|<1$ ，于是

$\left|a_{n}\right|=\left|a_{n}-a+a\right| \leqslant\left|a_{n}-a\right|+|a|<1+|a|$

若令 $M=\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\dots+\left|a_{N}\right|+|a|+1$ ，则对一切 $\in \mathbf{N}^{*}$ 有 $\left|a_{n}\right|<M$

定义1.4：

设{
$a_{n}$ }是一个数列， $k_{i} \in \mathbf{N}^{*}(i=1,2,3, \cdots)$ 且满足 $k_{1}<k_{1}<k_{3} \cdots$ ，那么数列 $\left\{a_{k_{n}}\right\}$ 叫做{
$a_{n}$ }的一个子列.

由这个定义，{
$a_{n}$ }自身也可以看作是{
$a_{n}$ }的子列.

定理1.3 ：

设收敛数列{
$a_{n}$ }的极限是a，那么{
$a_{n}$ }的任何子列都收敛到a.

启发：这个定理告诉我们：如果数列l{
$a_{n}$ }的两个子列收敛于不同的极限，那么数列{
$a_{n}$ }是发散的.这个结论通常被用来证明某个数列是发散的，考察数列
$\left( -1 \right) ^n$
，显然它是一个有界的数列，但它不是一个收敛数列. 这是因为它的奇数位置上的所有项组成的子数列的极限是1，而偶数位置上的所有项组成的子数列的极限是-1.

定理1.4：

极限的四则运算：设{
$a_{n}$ }与{
$b_{n}$ }。都是收敛数列，则 $\left|a_{n} \pm b_{n}\right|$ ， $\left|a_{n} b_{n}\right|$ ，也是收敛数列。如果 $\lim _{x \rightarrow \infty} b_{n} \neq 0$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}{a_{e}} \\ {\overrightarrow{b_{n}}}\end{array}\right\}$ 也收敛，并且
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(a_{n} \pm b_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} \pm \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}$

$\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} b_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}$

$\lim _{a \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}}{\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}}\left(\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n} \neq 0\right)$

做题经验1.1:

利用已知的一些简单的收敛数列，借助于上述四则运算性质，便可计算更复杂的一些数列的极限，而不需要使用“ $\varepsilon-N$ 推理”.

eg1:

$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 n^{2}-3 n+4}{5 n^{2}+4 n-1}$

定义1.5 ：

如果收敛数列{
$a_{n}$ }的极限等于0，那么这个数列称为无穷小数列，简称无穷小.

定理1.5 ：

关于无穷小，有以下的定理：

{
$a_{n}$ }为无穷小的必要充分条件是{| $a_{n}|$ }是无穷小；
两个无穷小之和（或差）仍是无穷小；
设{
$a_{n}$ }为无穷小，{
$c_{n}$ }为有界数列，那么。 $\left|c_{\mathrm{n}} a_{\mathrm{n}}\right|$ 也是无穷小；
设 $\leqslant a_{n} \leqslant b_{n}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ，如果{
$b_{n}$ }为无穷小，那么{
$a_{n}$ }也是无穷小；
$\lim _{x \rightarrow \infty} a_{0}=a$ 的必要充分条件是 $\left|a_{n}-a\right|$ 是无穷小.

定理1.6 ：

设
$a_{n} \leqslant b_{n} \leqslant c_{n}, n \in \mathbf{N}^{*}$
且
$\lim _{x \rightarrow \infty} a_{x}=\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}=a$
则
$\lim _{x \rightarrow \infty} b_{n}=a$

定理1.7 ：

设 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a, \alpha, \beta$ 满足 $\alpha<a<\beta$ ，那么当n 充分大时有；

$a_n>\alpha$

同样，当n 充分大时有：
$a_n<\beta$

设 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=b$ 且a<b,那么当n充分大时一定有：
$a_{n}<b_{n}$
设 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=b$ 且当n充分大时 $a_{n}<b_{n}$ ,则有：
$a\le b$

common MATLAB functions relating to limits

%% Calculates the limit of the sequence, indicated by its general term, %% as n tends to infinity syms n limit(((2*n-3)/(3*n-7))^4, n,inf)

%% Calculates the limit of the function of the variable x, as the variable x tends towards the value a limit((x-1)/(x^(1/2)-1),1)

%% Calculates the limit of the function of the variable x, as the variable x tends towards the value a syms x limit((x-1)/(x^(1/2)-1),x,1)

%% Calculates the limit of the function of the variable x, indicated by its analytical expression, as the variable x tends to a from the right syms x limit((exp(1/x)),x,0,'right')

%% Calculates the limit of the function of the variable x, indicated by its analytical expression, as the variable x tends to a from the left >> limit((exp(1/x)),x,0,'left')

%% 总结matlab的极限函数： limit (sequence, inf) limit(function, x, a) limit(function, a) limit (function, x, a,‘right’) limit (function, x, a, ‘left’)

练习：

>> syms n >> limit(((n+3)/(n-1))^n, inf) ans = exp(4) >> limit((1-2/(n+3))^n, inf) ans = 1/exp(2) >> limit((1/n)^(1/n), inf) ans = 1 >> limit(((n+1)^(1/3)-n^(1/3))/((n+1)^(1/2)-n^(1/2)),inf) ans = 0 >> limit((n^n*exp(-n)*sqrt(2*pi*n))/n^n, n,inf) ans = 0

>> limit(abs(x)/sin(x),x,0) ans = NaN >> syms x >> limit(abs(x)/sin(x),x,0) ans = NaN >> limit(abs(x)/sin(x),x,0,'left') ans = -1 >> limit(abs(x)/sin(x),x,0,'right') ans = 1 >> limit(abs(x^2-x-7),x,3) ans = 1 >> limit((x-1)/(x^n-1),x,1) ans = 1/n >> limit(exp(1)^(1/x),x,0) ans = NaN

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