离散数学排列与组合_离散数学合成运算

2024年 7月 5日下午6:47 • 激活谷笔记

（7.17）~~熬个夜的博客哦~~ （部分题目参考离散数学及其应用原书第7版 [（美）KENNETH H.ROSEN著；徐六通，杨娟，吴斌])
前言： 对于这些问题，其实自从高中开始，我自己学的就不是很好，眼看着要到大二了，要学的可多了，有什么概率论与随机过程，运筹学，离散还没学完啊。不废话了，这篇让我亲自再做一遍，再写一遍理解吧，加深印象和理解。

先来浅谈一下排列吧。

从五个学生里面选出三个学生站成一行拍照，有几种选择的方法？再让五个学生站成一行照相，又有几种呢？
回答：解答这个问题还好吧，毕竟拍照站的时候是有顺序的，比如从左边开始，选第一个学生站有5种方法，选第二个位置的学生有4种方法，当然选第三个位置的有3种方法，一共呢，根据乘法原理就是5 x 4 x 3 = 60种；
而第二问，五个学生都排的话，就是5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120种方法，很好理解。
看了这一个，我们想想这一类的问题，涉及次序在里面，从m个中选n个,则有p(m,n)=m （m-1) …(m-n+1)种可能性。
需要注意的是啥呢？就是n=0时，p(m,n)=1.
在进入刘木中学比赛的时候，要从100个人中选出一个一等奖，一个二等奖，和一个三等奖得主，问有几种方案？
回答：这个问题和第一个有点类似，一二三等奖在某种程度上也可以认为就是从左到右的一二三个位置，选第一个位置100种，选第二个位置99种，第三个位置就是98种，那么一共就是100 x 99 x 88=970 200;或者直接用p(100,3)=970 200;
在陪女朋友买衣服的时候呢，进入一家购物商场，女友坚持要买7件衣服且在不同的店购买，买这7件衣服有多少种顺序？
回答：与上文类似，直接7x6x5x4x3x2x1 = 7! = 5040种方法；

~~在这想象还是挺简单啊？~~
再谈谈组合吧

从五个人中选出四个人组成冲锋队，有多少种选择方法？
回答：很明显，没有了次序的困扰，但我们依然可以按照有顺序来思考，就是四个位置，就有5x4x3x2 = 120种，再除去顺序的4x3x2x1=24,那么就是120/24=5种方案；如果这样不好思考，也可以直接从五个种找四个素组成的集合，我们知道就是5种；或者从反面思考，去除一个人，就是5种去除的方法；
看了这一个，同样我们想想这一类的问题，不涉及次序在里面，从m个中选n个,则有C(m,n)=m （m-1) …(m-n+1)/n!种可能性 or m!/(n!(m-n)!)种。
从52张牌中，选出4张，有几种方法？或者选48张，又有几种方法？
回答：第一个问题，就是4个素的集合，就是C(52,4)=270 725种方法；第二个就是C(52,48) = 270 725,发现是相等的；因此得到C(m,n) = C(m,m-n);

后面是排列与组合的推广

有重复的排列和组合

用英文大写字母可以写出多少个长度为 r 的字符串？
26x26x26…26×26=26^r个；
规律就是n^r种；
从包含火龙果，猕猴桃，芒果的篮子里选出四个水果（前提是每种水果碗里至少有4个），有几种方法？
想了颇久，还是用最笨的方法全列出来吧
Dragon Fruit—-D;
Kiwifruit—-K;
Mang—-M;

4D	4K
3D,1K	3D,1M
3K,1M	3K,1D
2D,2K	2D,2M
2D,1K,1M	2K,1D,1M

4M	3M,1D
3M,1K	2M,2K
2M,1K,1D

一共15中方式

从包含1美，2美，5美，10美，20美，50美以及100美的钱袋中选出五张纸币，有多少中方式？
回答：意思是从7个素的集合中允许重复的五素组合问题

对于这个问题，很典型，可以归纳得到m个素的集合中允许重复的n组合，那么一共有C(m+n-1,n)种组合方式。

方程x1+x2+x3=11有多少个解？都为非负整数
回答: 那么运用公式就是C(3+11-1,11) = 78种；
方程x1+x2+x3+x4+x5=21有多少解？其中Xi（＞2）（i＝1，2，3，4，5）是非负整数。
回答：这个题可以翻译成这样一个问题：在五个不同的盒子里放置21个相同的球有多少种方法，每个盒子至少有两个球。C(21-5×2+5-1,21-5×2）= C(15,11）= 15! / ( 11！4！）=1365种得到;可能有同学不理解括号中的21-5×2+5-1的意义，我们对比公式可以知道重复的个数，我们是先把至少两个的已经放了，那么就放了2×5个素了，重复的个数也变成了21-10=11种,那么再代入公式得到C(11+5-1,11)了，也就是C(15,11)=1365种了。
在下面伪代码被执行之后，k的值会是多少？

k=0; for(i1 = 1;i1 <= n;i1++) { 
    for( i2 = 1; i2 <= i1;i2++) { 
    for(i3 = 1;i3 <= i2;i3++) { 
    for( i4 = 1; i4 <= i3;i4++) { 
    .... for( im = 1;im <= i(m-1);im++) k = k+1; } } } }

回答：这道题其实还蛮好理解的，相当于{1，2，3…n}的一个序列，里面的素都是允许重复选择m个的整数，即C(m+n-1,m)，那么因为每次k++,那么k=C(m+n-1,m)+0;

~~上面的都是可重复的组合，下面看看不可区别物体的集合~~

重新排列单词sucess中的字母能构成多少个不同的串？
回答：首先里面只有4中字符，那么组合的方式应该是C(7,3)*C(4,2)*C(2,1)*C(1,1)=420种；
从中可以得到一个规律认识：假设物种1有a个，物种2有b个，物种3有c个…，物种k有z个，那么n个物体排列数是n! / (a! b! c!..z!)种；

可分辨的物体与可分辨的盒子

把52张牌分给五个人，每人四张，有多少种方式？
回答：可以当作五个位置，每个位置放四个，那么就是C(52,4)C(48,4)C(44,4)C(40,4)C(36,4)种方式；

可分辨的物体与不可分辨的盒子

把四个不同的雇员安排在三件不可分辨的办公室有几种方式？
回答：14种；

不可分辨的物体与可分辨的盒子

将5个不可分辨的西瓜放入2个可分辨的篮子里，有几种方式？
回答：C(5+2-1,5)种；此处的不可分辨的物体可当作重复的素的个数理解；

不可分辨的物体与不可分辨的盒子

将6个无差异的鸡蛋放入4个无差异篮子里，有几种方式？
回答：

6
5，1
4，1，1
4，2	–
3，2，1
2，2，1，1
2，2，2	–
3，3
3,1,1,1

一共9种；

离散数学排列与组合_离散数学合成运算

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