繁星数学随想录·笔记卷
摘录卷
定积分相关公式
01 对称区间的积分公式
∫ − a a f ( x ) d x = { 0 f ( x ) 为奇函数 2 ∫ 0 a f ( x ) d x f ( x ) 为偶函数 \int_{-a}^{a} f(x) d x=\left\{\begin{array}{cc}0 & f(x) \text { 为奇函数 } \\ 2 \int_{0}^{a} f(x) d x & f(x) \text { 为偶函数 }\end{array}\right. ∫−aaf(x)dx={
02∫0af(x)dxf(x) 为奇函数 f(x) 为偶函数
02 三角函数形式的积分公式
从几何上考虑
💝💝💝：要记住会默写
✍✍✍：会推导不要背
💝 ∫ 0 π 2 f ( sin x ) d x = ∫ 0 π 2 f ( cos x ) d x 💝 ∫ 0 π f ( sin x ) d x = 2 ∫ 0 π 2 f ( sin x ) d x 💝 ∫ 0 π x f ( sin x ) d x = π 2 ∫ 0 π f ( sin x ) d x 💝 ∫ 0 π x f ( sin x ) d x = π ∫ 0 π 2 f ( sin x ) d x 💝 ∫ 0 π 2 x ( f ( sin x ) + f ( cos x ) ) d x = π 2 ∫ 0 π 2 f ( sin x ) d x ✍ ∫ sin n x d x = − cos x sin n − 1 x n + n − 1 n ∫ sin n − 2 x d x ✍ ∫ cos n x d x = sin x cos n − 1 x n + n − 1 n ∫ cos n − 2 x d x ✍ ∫ tan n x d x = tan n − 1 x n − 1 − ∫ tan n − 2 x d x ✍ ∫ d x a sin x + b cos x = 1 a 2 + b 2 ln ∣ tan x + arctan b a 2 ∣ + C \begin{aligned} & 💝\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) d x\\ & 💝\int_{0}^{\pi} f(\sin x) d x=2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x\\ & 💝\int_{0}^{\pi} xf(\sin x) d x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) d x\\ & 💝\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) d x=\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x\\ & 💝\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x(f(\sin x)+f(\cos x)) d x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x\\ & ✍\int \sin ^{n} x d x=-\frac{\cos x \sin ^{n-1} x}{n}+\frac{n-1}{n} \int \sin ^{n-2} x d x \\ & ✍\int \cos ^{n} x d x=\frac{\sin x \cos ^{n-1} x}{n}+\frac{n-1}{n} \int \cos ^{n-2} x d x\\ & ✍\int \tan ^{n} x d x=\frac{\tan ^{n-1} x}{n-1}-\int \tan ^{n-2} x d x\\ & ✍\int \frac{d x}{a \sin x+b \cos x}=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \ln \left|\tan \frac{x+\arctan \frac{b}{a}}{2}\right|+C \end{aligned} 💝∫02πf(sinx)dx=∫02πf(cosx)dx💝∫0πf(sinx)dx=2∫02πf(sinx)dx💝∫0πxf(sinx)dx=2π∫0πf(sinx)dx💝∫0πxf(sinx)dx=π∫02πf(sinx)dx💝∫02πx(f(sinx)+f(cosx))dx=2π∫02πf(sinx)dx✍∫sinnxdx=−ncosxsinn−1x+nn−1∫sinn−2xdx✍∫cosnxdx=nsinxcosn−1x+nn−1∫cosn−2xdx✍∫tannxdx=n−1tann−1x−∫tann−2xdx✍∫asinx+bcosxdx=a2+b21ln∣∣∣∣∣tan2x+arctanab∣∣∣∣∣+C
03 华理士公式
华理士公式（点火公式）
∫ 0 π 2 sin n x d x = ∫ 0 π 2 cos n x d x = ( n − 1 ) ! ! n ! ! H { ( n − 1 ) ! ! n ! ! n 为 奇 数 ， 点 火 失 败 ， H 取 1 ( n − 1 ) ! ! n ! ! ⋅ π 2 n 为 偶 数 ， 点 火 成 功 ， H 取 π 2 ∫ 0 π 2 sin n x d x = ∫ 0 π 2 cos n x d x = { ( n − 1 ) ! ! n ! ! n 为 奇 数 ( n − 1 ) ! ! n ! ! ⋅ π 2 n 为 偶 数 \begin{aligned} & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} x d x= \frac{(n-1) ! !}{n ! !} H\ \left\{\begin{array}{cc}\frac{(n-1) ! !}{n ! !} & n 为奇数，点火失败，H取1 \\ \frac{(n-1) ! !}{n ! !} \cdot \frac{\pi}{2} & n 为偶数，点火成功，H取\frac{\pi}{2} \end{array}\right.\\ & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} x d x=\left\{\begin{array}{cc}\frac{(n-1) ! !}{n ! !} & n 为奇数 \\ \frac{(n-1) ! !}{n ! !} \cdot \frac{\pi}{2} & n 为偶数\end{array}\right. \end{aligned} ∫02πsinnxdx=∫02πcosnxdx=n!!(n−1)!!H {
n!!(n−1)!!n!!(n−1)!!⋅2πn为奇数，点火失败，H取1n为偶数，点火成功，H取2π∫02πsinnxdx=∫02πcosnxdx={
n!!(n−1)!!n!!(n−1)!!⋅2πn为奇数n为偶数
04 周期函数的积分公式
∫ a a + T f ( x ) d x = ∫ 0 T f ( x ) d x = ∫ − T / 2 T / 2 f ( x ) d x \int_{a}^{a+T} f(x) d x=\int_{0}^{T} f(x) d x=\int_{-T / 2}^{T / 2} f(x) d x ∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx=∫−T/2T/2f(x)dx
05 柯西不等式-积分形式
( ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x ) 2 ⩽ ∫ a b f 2 ( x ) d x ∫ a b g 2 ( x ) d x \left(\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g^{2}(x) \mathrm{d} x (∫abf(x)g(x)dx)2⩽∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx
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