知道了三角形三条边长怎么求面积_已知三角形的面积求边长的公式

知道了三角形三条边长怎么求面积_已知三角形的面积求边长的公式

(海伦公式)已知三角形三条边长,求面积

 

海伦公式: 
S=(△)=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 
其中p是三角形的周长的一半p=(a+b+c)/2.

~~~~以下转自百度百科~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

海伦公式海又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦-秦九韶公式,

知道了三角形三条边长怎么求面积_已知三角形的面积求边长的公式

传说是古代的叙拉古国王 希伦(Heron,也称海龙)二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证,这条公式其实是阿基米德所发现,以托希伦二世的名发表(未查证)。 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”,它与海伦公式基本一样。
  假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得: 
  S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 
  而公式里的p为半周长: 
  p=(a+b+c)/2 
  ——————————————————————————————————————————————
  注:”Metrica”(《度量论》)手抄本中用s作为半周长,所以
  S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的,但多用p作为半周长。
  ——————————————————————————————————————————————
  由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。 
  证明(1): 
  与海伦在他的著作”Metrica”(《度量论》)中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为 
  cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab 
  S=1/2*ab*sinC
  =1/2*ab*√(1-cos^2 C)
  =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
  =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
  =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
  =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
  =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
  设p=(a+b+c)/2
  则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
  上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
  =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 
  所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 
  证明(2):
  我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样,其实在《九章算术》中,已经有求三角形公式“底乘高的一半”,在实际丈量土地面积时,由于土地的面积并不是的三角形,要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋,我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。 
  秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”,作1作为“隅”,开平方后即得面积。 
  所谓“实”、“隅”指的是,在方程px 2=qk,p为“隅”,Q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜,所以 
  q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2] 
  当P=1时,△ 2=q, 
  S△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]} 
  因式分解得 
  1/16[(c+a) 2-b 2][b62-(c-a) 2] 
  =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) 
  =1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) 
  =p(p-a)(p-b)(p-c)
  由此可得: 
  S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 
  其中p=1/2(a+b+c) 
  这与海伦公式完全一致,所以这一公式也被称为“海伦-秦九韶公式”。
  S=c/2*根号下a^-{(a^-b^+c^)/2c}^ .其中c>b>a. 
  根据海伦公式,我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题:
  已知四边形ABCD为圆的内接四边形,且AB=BC=4,CD=2,DA=6,求四边形ABCD的面积
  这里用海伦公式的推广
  S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) (其中p为周长一半,a,b,c,d,为4边)
  代入解得s=8√ 3
  海伦公式的几种另证及其推广 
  关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有: 
  设△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,ha为a边上的高,R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径,p = (a+b+c),则 
  S△ABC = aha= ab×sinC = r p 
  = 2R2sinAsinBsinC = 
  = 
  其中,S△ABC = 就是著名的海伦公式,在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。 
  海伦公式在解题中有十分重要的应用。 
  一、 海伦公式的变形 
  S= 
  = ① 
  = ② 
  = ③ 
  = ④ 
  = ⑤ 
  二、 海伦公式的证明 
  证一 勾股定理 
  分析:先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手,运用勾股定理推导出海伦公式。 
  证明:如图ha⊥BC,根据勾股定理,得: 
  x = y = 
  ha = = = 
  ∴ S△ABC = aha= a× = 
  此时S△ABC为变形④,故得证。 
  证二:斯氏定理 
  分析:在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。 
  斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D, 
  若BD=u,DC=v,AD=t.则 
  t 2 = 
  证明:由证一可知,u = v = 
  ∴ ha 2 = t 2 = - 
  ∴ S△ABC = aha = a × 
  = 
  此时为S△ABC的变形⑤,故得证。 
  证三:余弦定理 
  分析:由变形② S = 可知,运用余弦定理 c2 = a2 + b2 -2abcosC 对其进行证明。 
  证明:要证明S = 
  则要证S = 
  = 
  = ab×sinC 
  此时S = ab×sinC为三角形计算公式,故得证。 
  证四:恒等式 
  分析:考虑运用S△ABC =r p,因为有三角形内接圆半径出现,可考虑应用三角函数的恒等式。 
  恒等式:若∠A+∠B+∠C =180○那么 
  tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1 
  证明:如图,tg = ① 
  tg = ② 
  tg = ③ 
  根据恒等式,得: 
  + + = 
  ①②③代入,得: 
  ∴r2(x+y+z) = xyz ④ 
  如图可知:a+b-c = (x+z)+(x+y)-(z+y) = 2x 
  ∴x = 同理:y = z = 
  代入 ④,得: r 2 · = 
  两边同乘以 ,得: 
  r 2 · = 
  两边开方,得: r · = 
  左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①,故得证。 
  证五:半角定理 
  半角定理:tg = 
  tg = 
  tg = 
  证明:根据tg = = ∴r = × y ① 
  同理r = × z ② r = × x ③ 
  ①×②×③,得: r3 = ×xyz 
  ∵由证一,x = = -c = p-c 
  y = = -a = p-a 
  z = = -b = p-b 
  ∴ r3 = ∴ r = 
  ∴S△ABC = r·p = 故得证。 
  三、 海伦公式的推广 
  由于在实际应用中,往往需计算四边形的面积,所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆,所以猜想海伦公式的推广为:在任意内接与圆的四边形ABCD中,设p= ,则S四边形= 
  现根据猜想进行证明。 
  证明:如图,延长DA,CB交于点E。 
  设EA = e EB = f 
  ∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○ 
  ∴∠1 =∠3 ∴△EAB~△ECD 
  ∴ = = = 
  解得: e = ① f = ② 
  由于S四边形ABCD = S△EAB 
  将①,②跟b = 代入公式变形④,得: 
  ∴S四边形ABCD = 
  所以,海伦公式的推广得证。 
  四、 海伦公式的推广的应用 
  海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用,特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中,直接运用海伦公式的推广往往事半功倍。 
  例题:如图,四边形ABCD内接于圆O中,SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2. 
  求:四边形可能为等腰梯形。 
  解:设BC = x 
  由海伦公式的推广,得: 
  (4-x)(2+x)2 =27 
  x4-12×2-16x+27 = 0 
  x2(x2—1)-11x(x-1)-27(x-1) = 0 
  (x-1)(x3+x2-11x-27) = 0 
  x = 1或x3+x2-11x-27 = 0 
  当x = 1时,AD = BC = 1 
  ∴ 四边形可能为等腰梯形。

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