前言
高中数学中没有提到齐次式,但是在具体运算中时不时的会用到这一理论,故做以总结。与齐次式紧密相关的是“变量集中策略”.1
相关概念
以表达式\(2x^2-3xy+y^2\)为例,其中的每一项的次数都是二次的,平齐的,故\(2x^2-3xy+y^2\)称为关于\(x,y\)的二次齐次式;\(3x+4y\)是关于\(x\),\(y\)的一次齐次式;
那么\(2x^2-3x+y^2\)不能成为二次齐次式,原因是中间项\(3x\)为一次式。
引申拓展:
- 关于\(x,y\)的一次齐次式:
举例:\(3x+4y\),\(2x\),\(5y\);
- 关于\(x,y\)的二次齐次式:
举例:\(3x^2-4xy+2y^2\);\(x^2+2y^2\);\(2x^2+3xy\);\(2xy+3y^2\);
- 关于\(sin\theta,cos\theta\)的一次齐次式:
举例:\(2sin\theta-3cos\theta\),\(3sin\theta\),\(4cos\theta\);
- 关于\(sin\theta,cos\theta\)的二次齐次式:
举例:\(3sin^2\theta-4sin\theta cos\theta+2cos^2\theta\);\(sin^2\theta+2cos^2\theta\);\(2sin^2\theta+3sin\theta cos\theta\);\(2sin\theta cos\theta+3cos^2\theta\);
常见形式
由于是齐次式,所以常常可以利用变量集中思想,减少变量的个数,常涉及到的变形有变量集中,分数裂项法,
- 如关于\(x,y\)的一次齐次式的分式形式常用的下述变换:
\(\cfrac{2x+3y}{x-y}=\cfrac{2\frac{x}{y}+3}{\frac{x}{y}-1}\xlongequal[令\frac{x}{y}=t]{换法}\cfrac{2t+3}{t-1}\)
\(=\cfrac{2t-2+5}{t-1}=2+\cfrac{5}{t-1}\)
- 如关于\(x,y\)的二次齐次式的分式形式常用的下述变换:
\(z=\cfrac{x^2+y^2}{xy}=\cfrac{x}{y}+\cfrac{y}{x}=k+\cfrac{1}{k}\);
- 关于\(sin\theta,cos\theta\)的一次或二次齐次式的分式形式常用的下述变换:
比如:\(\cfrac{a\sin\theta+b\cos\theta}{c\sin\theta+d\cos\theta}\xlongequal[分子分母是sin\theta,cos\theta的一次齐次式]{分子分母同除以cos\theta}\cfrac{a\tan\theta+b}{c\tan\theta+d}\) (\(a,b,c,d\)为常数);
小结:实现了二\(sin\theta、cos\theta\)向一\(tan\theta\)的转化;
比如:\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}=\cfrac{2sin\theta cos\theta-cos^2\theta}{2sin^2\theta+cos^2\theta}\xlongequal[分子分母是sin\theta,cos\theta的二次齐次式]{分子分母同除以cos^2\theta}\cfrac{2tan\theta-1}{2tan^2\theta+1}\)
小结:实现了二\(sin\theta、cos\theta\)向一\(tan\theta\)的转化;
再比如:\(a\sin2\theta+b\cos2\theta=\cfrac{a\sin2\theta+b\cos2\theta}{sin^2\theta+cos^2\theta}=\cfrac{a\tan\theta+b-b\tan^2\theta}{tan^2\theta+1}\),
其余留作思考:\(\sin2\theta\), \(\cos2\theta\),\(1+\sin2\theta\), \(2-\cos2\theta\),\(3\sin2\theta-2\cos2\theta\) 等等
①\(z=\cfrac{a+\sqrt{2}b}{\sqrt{2}a+b}\);分子分母同除以\(b\)变形得到,\(z=\cfrac{\frac{a}{b}+\sqrt{2}}{\sqrt{2}\frac{a}{b}+1}\xlongequal{t=\frac{a}{b}}\cfrac{t+\sqrt{2}}{\sqrt{2}t+1}\)
②\(z=\cfrac{2a^2+4ab-3b^2}{a^2+ab+b^2}\);分子分母同除以\(b^2\)变形得到,\(z=\cfrac{2(\frac{a}{b})^2+4\frac{a}{b}-3}{(\frac{a}{b})^2+\frac{a}{b}+1}\xlongequal{t=\frac{a}{b}}\cfrac{2t^2+4t-3}{t^2+t+1}\)
③\(\cfrac{a\sin\theta+b\cos\theta}{c\sin\theta+d\cos\theta}\xlongequal[分子分母是sin\theta,cos\theta的一次齐次式]{分子分母同除以cos\theta}\cfrac{a\tan\theta+b}{c\tan\theta+d}\) (\(a,b,c,d\)为常数);
④\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}=\cfrac{2sin\theta cos\theta-cos^2\theta}{2sin^2\theta+cos^2\theta}\xlongequal[分子分母是sin\theta,cos\theta的二次齐次式]{分子分母同除以cos^2\theta}\cfrac{2tan\theta-1}{2tan^2\theta+1}\)
⑤\(a^2-5ab+4b^2>0\),不等式两端同除以\(b^2\)变形得到,\((\cfrac{a}{b})^2-5\cfrac{a}{b}+4>0\),这样我们能得到\(\cfrac{a}{b}<1\)或\(\cfrac{a}{b}>4\);
⑥\(c^2-4ac+4a^2=0\),变形得到\((\cfrac{c}{a})^2-4\cfrac{c}{a}+4=0\),即\(e^2-4e+4=(e-2)^2=0\)。
典例剖析
例01已知\(tan\alpha=\cfrac{1}{2}\),求\(sin^4\alpha-cos^4\alpha\)的值。
【法1】:方程组法,由\(\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{sin\alpha}{cos\alpha}=\cfrac{1}{2}}\\{sin^2\alpha+cos^2\alpha=1}\end{array}\right.\),
解得\(sin^2\alpha=\cfrac{1}{5}\),\(cos^2\alpha=\cfrac{4}{5}\),
代入得到\(sin^4\alpha-cos^4\alpha=-\cfrac{3}{5}\);
【法2】:齐次式法,
\(sin^4\alpha-cos^4\alpha\)
\(=(sin^2\alpha-cos^2\alpha)(sin^2\alpha+cos^2\alpha)\)
\(=sin^2\alpha-cos^2\alpha\)
\(=-\cfrac{cos^2\alpha-sin^2\alpha}{sin^2\alpha+cos^2\alpha}\)
\(=\cfrac{1-tan^2\alpha}{1+tan^2\alpha}=-\cfrac{3}{5}\);
【法3】:由\(\cfrac{sin\alpha}{cos\alpha}=\cfrac{1}{2}\),引入比例因子,可设\(sin\alpha=k\),\(cos\alpha=2k(k\neq 0)\),
由\(k^2+(2k)^2=1\),可得\(k^2=\cfrac{1}{5}\),故\(k^4=\cfrac{1}{25}\),
则\(sin^4\alpha-cos^4\alpha=k^4-(2k)^4=-15k^4=-\cfrac{3}{5}\);
例02已知实数\(a、b\)满足条件\(\left\{\begin{array}{l}{a+b-2\ge 0}\\{b-a-1\leq 0}\\{a\leq 1}\end{array}\right.\),求\(\cfrac{a+2b}{2a+b}\)的取值范围。
【法1】转化为斜率型,
思路如下:由于所求值函数为分式形式的关于\(a、b\)的二次齐次式,
故可以转化为\(\cfrac{a+2b}{2a+b}=\cfrac{1+2\cdot \cfrac{b}{a}}{2+\cfrac{b}{a}}\),
\(=2-\cfrac{3}{2+k}=f(k)\),其中\(k=\cfrac{b}{a}\)
这样先由可行域求得\(k=\cfrac{b}{a}\in [1,3]\)
函数\(f(k)\)在区间\([1,3]\)上单调递增,
然后用单调性,求得\(\cfrac{a+2b}{2a+b}\in [1,\cfrac{7}{5}]\)
【法2】换法,令\(a+2b=n\),\(2a+b=m\),
联立解以\(a、b\)为的方程组,得到
\(a=\cfrac{2m-n}{3}\),\(b=\cfrac{2n-m}{3}\),
代入原不等式组,可将原约束条件转化为关于\(m 、n\)的不等式组,
即已知\(m 、n\)满足条件\(\left\{\begin{array}{l}{m+n-6\ge 0}\\{n-m-1\leq 0}\\{2m-n-3\leq 0}\end{array}\right.\),
求\(\cfrac{n}{m}\)的取值范围。
利用数形结合思想可得,\(\cfrac{a+2b}{2a+b}=\cfrac{n}{m}\in [1,\cfrac{7}{5}]\)。图像
-
参见变量集中策略↩
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