“§ 4 辛空间
近年来有限维辛空间的理论在力学、计算数学、几何学、代数学、组合学等领域中日显重要.
我们在这一节简略地介绍辛空间的一些性质, 特别是辛空间的子空间及辛自同构
(称为辛变换) 的性质.
由前一节的讨论,已经得到下面两点性质：
1. 辛空间 ( V , f ) (V, f) (V,f) 中一定能找到一组基
ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε n , ε − 1 , ε − 2 , ⋯ , ε − n \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}, \varepsilon_{-1}, \varepsilon_{-2}, \cdots, \varepsilon_{-n} ε1,ε2,⋯,εn,ε−1,ε−2,⋯,ε−n,
满足
{ f ( ε i , ε − i ) = 1 , 1 ⩽ i ⩽ n , f ( ε i , ε j ) = 0 , − n ⩽ i , j ⩽ n , i + j ≠ 0 , \left\{\begin{array}{ll} f\left(\boldsymbol{\varepsilon}_{i}, \boldsymbol{\varepsilon}_{-i}\right)=1, & 1 \leqslant i \leqslant n, \\ f\left(\boldsymbol{\varepsilon}_{i}, \boldsymbol{\varepsilon}_{j}\right)=0, & -n \leqslant i, j \leqslant n, i+j \neq 0, \end{array}\right. {
f(εi,ε−i)=1,f(εi,εj)=0,1⩽i⩽n,−n⩽i,j⩽n,i+j=0,
这样的基称为 ( V , f ) (V, f) (V,f) 的辛正交基. 还可看出辛空间一定是偶数维的.
2. 任一 2 n 2 n 2n 阶非退化反称矩阵 K \boldsymbol{K} K 可把一个数域 P P P 上
2 n 2 n 2n 维空间 V V V 化成一个辛空间,且使 K K K 为 V V V 的一组基
e 1 , e 2 , ⋯ , e n , e − 1 , e − 2 , ⋯ , e − n e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}, e_{-1}, e_{-2}, \cdots, e_{-n} e1,e2,⋯,en,e−1,e−2,⋯,e−n
下的度量矩阵. 又此辛空间在一组辛正交基
ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε n , ε − 1 , ε − 2 , ⋯ , ε − n \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}, \varepsilon_{-1}, \varepsilon_{-2}, \cdots, \varepsilon_{-n} ε1,ε2,⋯,εn,ε−1,ε−2,⋯,ε−n
下的度量矩阵为
J = ( O E − E O ) 2 n × 2 n , J=\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{E} \\ -\boldsymbol{E} & \boldsymbol{O} \end{array}\right)_{2 n \times 2 n}, J=(O−EEO)2n×2n,
故 K \boldsymbol{K} K 合同于 J \boldsymbol{J} J. 即任一 2 n 2 n 2n
阶非退化反称矩阵皆合同于 J \boldsymbol{J} J.
两个辛空间 ( V 1 , f 1 ) \left(V_{1}, f_{1}\right) (V1,f1) 及 ( V 2 , f 2 ) \left(V_{2}, f_{2}\right) (V2,f2),
若有 V 1 V_{1} V1 到 V 2 V_{2} V2 的作为线性空间的同构 K \mathscr{K} K, 它满足
f 1 ( u , v ) = f 2 ( K u , K v ) , f_{1}(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v})=f_{2}(\mathscr{K} \boldsymbol{u}, \mathscr{K} \boldsymbol{v}), f1(u,v)=f2(Ku,Kv),
则称 K \mathscr{K} K 是 ( V 1 , f 1 ) \left(V_{1}, f_{1}\right) (V1,f1) 到
( V 2 , f 2 ) \left(V_{2}, f_{2}\right) (V2,f2) 的辛同构.
( V 1 , f 1 ) \left(V_{1}, f_{1}\right) (V1,f1) 到 ( V 2 , f 2 ) \left(V_{2}, f_{2}\right) (V2,f2)
的作为线性空间的同构是辛同构当且仅当它把 ( V 1 , f 1 ) \left(V_{1}, f_{1}\right) (V1,f1)
的一组辛正交基变成 ( V 2 , f 2 ) \left(V_{2}, f_{2}\right) (V2,f2) 的辛正交基.
两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数.
辛空间 ( V , f ) (V, f) (V,f) 到自身的辛同构称为 ( V , f ) (V, f) (V,f) 上的辛变换. 取定 ( V , f ) (V, f) (V,f)
的一组辛正交基
ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε n , ε − 1 , ε − 2 , ⋯ , ε − n , V \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}, \varepsilon_{-1}, \varepsilon_{-2}, \cdots, \varepsilon_{-n}, V ε1,ε2,⋯,εn,ε−1,ε−2,⋯,ε−n,V
上的一个线性变换 K \mathscr{K} K, 在该基下的矩阵为 K \boldsymbol{K} K,
K = ( A B C D ) , K=\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{D} \end{array}\right), K=(ACBD),
其中 A , B , C , D \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}, \boldsymbol{D} A,B,C,D
皆为 n × n n \times n n×n 方阵. 则 K \mathscr{K} K 是辛变换当且仅当
K T J K = J \boldsymbol{K}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{J} \boldsymbol{K}=\boldsymbol{J} KTJK=J,
亦即当且仅当下列条件成立:
A ⊤ C = C ⊤ A , B T D = D T B , A T D − C T B = E . \boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{C}=\boldsymbol{C}^{\top} \boldsymbol{A}, \quad \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{D}=\boldsymbol{D}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}, \quad \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{D}-\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{E} . A⊤C=C⊤A,BTD=DTB,ATD−CTB=E.
且易证, ∣ K ∣ = ± 1 |\boldsymbol{K}|= \pm 1 ∣K∣=±1
及辛变换的乘积、辛变换的逆变换皆为辛变换.
设 ( V , f ) (V, f) (V,f) 是辛空间, u , v ∈ V u, v \in V u,v∈V 且满足 f ( u , v ) = 0 f(u, v)=0 f(u,v)=0, 则称 u , v u, v u,v
为辛正交的.
W W W 是 V V V 的子空间，令
W ⊥ = { u ∈ V ∣ f ( u , w ) = 0 , ∀ w ∈ W } . W^{\perp}=\{u \in V \mid f(u, w)=0, \forall w \in W\} . W⊥={
u∈V∣f(u,w)=0,∀w∈W}.
W ⊥ W^{\perp} W⊥ 显然是 V V V 的子空间，称为 W W W 的辛正交补空间.
定理 7 ( V , f ) 7(V, f) 7(V,f) 是辛空间, W W W 是 V V V 的子空间,则
维 ( W ⊥ ) = 维 ( V ) – 维 ( W ) . \text { 维 }\left(W^{\perp}\right)=\text { 维 }(V) \text { – 维 }(W) \text {. } 维 (W⊥)= 维 (V) – 维 (W).
证明 取 V V V 的一组基
ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε 2 n , W \boldsymbol{\varepsilon}_{1}, \boldsymbol{\varepsilon}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_{2 n}, W ε1,ε2,⋯,ε2n,W
的一组基
η 1 , η 2 , ⋯ , η k \boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\eta}_{k} η1,η2,⋯,ηk,
设 f f f 在
ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε 2 n \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{2 n} ε1,ε2,⋯,ε2n下的度量矩阵为
A \boldsymbol{A} A.一对向量
η = ( ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε 2 n ) X , ε = ( ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε 2 n ) Y \boldsymbol{\eta}=\left(\boldsymbol{\varepsilon}_{1}, \boldsymbol{\varepsilon}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_{2 n}\right) \boldsymbol{X}, \boldsymbol{\varepsilon}=\left(\boldsymbol{\varepsilon}_{1}, \boldsymbol{\varepsilon}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_{2 n}\right) \boldsymbol{Y} η=(ε1,ε2,⋯,ε2n)X,ε=(ε1,ε2,⋯,ε
2024最新激活全家桶教程，稳定运行到2099年，请移步至置顶文章：https://sigusoft.com/99576.html
版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容， 请联系我们举报，一经查实，本站将立刻删除。 文章由激活谷谷主-小谷整理,转载请注明出处：https://sigusoft.com/117200.html
